高さ $H$ のビルの屋上から、初速 $v_0$ で真上に物体を投げ上げた時の、最高点の高さ（地面からの高さ） $h$ と、地面に達するまでの時間 $t$ を求める問題です。

1. 問題の内容

高さ $H$ のビルの屋上から、初速 $v_0$ で真上に物体を投げ上げた時の、最高点の高さ（地面からの高さ） $h$ と、地面に達するまでの時間 $t$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、最高点の高さ $h$ を求めます。

投げ上げた物体が最高点に達する時、速度は0になります。

等加速度運動の公式 $v^2 - v_0^2 = 2ax$ を利用します。ここで、$v = 0$, $v_0 = v_0$, $a = -g$ (重力加速度), $x = h - H$ (上昇距離)です。

$0 - v_0^2 = 2(-g)(h - H)$

これを $h$ について解きます。

$h - H = \frac{v_0^2}{2g}$

$h = H + \frac{v_0^2}{2g}$

次に、地面に達するまでの時間 $t$ を求めます。

等加速度運動の公式 $x = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ を利用します。

ここで、$x = -H$ (変位), $v_0 = v_0$, $a = -g$ です。

$-H = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$

これを $t$ について解きます。

$\frac{1}{2}gt^2 - v_0t - H = 0$

$gt^2 - 2v_0t - 2H = 0$

この2次方程式を解の公式を使って解きます。

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2v_0 \pm \sqrt{4v_0^2 + 8gH}}{2g} = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 + 2gH}}{g}$

時間 $t$ は正の値なので、

$t = \frac{v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2gH}}{g}$

3. 最終的な答え

最高点の高さ $h$ は、

$h = H + \frac{v_0^2}{2g}$

地面に達するまでの時間 $t$ は、

$t = \frac{v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2gH}}{g}$