画像には5つの数学の問題が記述されています。 1. 素過程を記述する微分方程式を求める問題（化学反応のモデル化）。

## 問題の解答

1. **問題の内容**

画像には5つの数学の問題が記述されています。

1. 素過程を記述する微分方程式を求める問題（化学反応のモデル化）。

2. 微分方程式系 $X' = AX$ の解を、与えられた行列Aに対して求める問題（固有値、固有ベクトル、一般解、標準形、相図）。

3. 2変数関数 $f(x, y) = \arctan(x^2 + y^2 + 1)$ の $(0, 0)$ 近傍における2次のテイラー展開を求める問題。

4. 微分方程式系の平衡点を求め、線形近似による安定性を判定する問題。

5. Lotka-Volterra方程式系の平衡点、ヌルクライン、ベクトル場、安定な平衡点、解軌道を求める問題。

2. **解き方の手順**

各問題に対する解き方の手順を説明します。

1. **素過程のモデル化**

* (1) $3A + 2B \xrightarrow{k_1} C$

反応速度式は $dc/dt = k_1 a^3 b^2$。 $a, b$ はそれぞれ $A, B$ の濃度。

* (2)

$A + B \xrightarrow{k_1} 2A$ および $A + 2C \xrightleftharpoons[k_{-2}]{k_2} 2P$

それぞれの反応速度式は、$da/dt = -k_1 ab - k_2 ac^2 + k_{-2} p^2$, $db/dt = -k_1 ab$, $dc/dt = -2k_2 ac^2 + 2k_{-2} p^2$, $dp/dt = 2k_2 ac^2 - 2k_{-2} p^2$

2. **微分方程式系 $X' = AX$**

* (a) 固有値と固有ベクトルを求める。

* 行列 $A_1 = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

固有方程式: $\det(A_1 - \lambda I) = (0-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)(-1) = \lambda^2 + \lambda - 2 = (\lambda+2)(\lambda-1) = 0$.

固有値: $\lambda_1 = -2, \lambda_2 = 1$.

$\lambda_1 = -2$ のとき、$(A_1 - \lambda_1 I)v_1 = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow x = y$.

固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

$\lambda_2 = 1$ のとき、$(A_1 - \lambda_2 I)v_2 = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow x = -2y$.

固有ベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

* 行列 $A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

固有方程式: $\det(A_2 - \lambda I) = (-\lambda)(-\lambda) - (4)(-1) = \lambda^2 + 4 = 0$.

固有値: $\lambda_{1,2} = \pm 2i$.

$\lambda_1 = 2i$ のとき、$(A_2 - \lambda_1 I)v_1 = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -2i & 4 \\ -1 & -2i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow x = -2iy$.

固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} -2i \\ 1 \end{pmatrix}$.

* 行列 $A_3 = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

固有方程式: $\det(A_3 - \lambda I) = (4-\lambda)(-\lambda) - (-4)(1) = \lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda-2)^2 = 0$.

固有値: $\lambda = 2$ (重解).

$(A_3 - 2 I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow x = 2y$.

固有ベクトル $v = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

* (b) 一般解を求める。

* $A_1$ の場合: $X(t) = c_1 e^{-2t} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{t} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

* $A_2$ の場合: $X(t) = c_1 \begin{pmatrix} 2 \cos(2t) \\ -\sin(2t) \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 2 \sin(2t) \\ \cos(2t) \end{pmatrix}$.

* $A_3$ の場合: $X(t) = c_1 e^{2t} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{2t} (\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix})$

* (c) 標準形への変換行列を求める。

* $A_1$ の場合: $T = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. $T^{-1} A_1 T = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

$Y(t) = c_1 e^{-2t} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 e^{t} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

* (d) 相図を描く。省略。

3. **テイラー展開**

$f(x, y) = \arctan(x^2 + y^2 + 1)$. $(0, 0)$ での2次のテイラー展開を求める。

$f(0, 0) = \arctan(1) = \pi/4$.

$f_x = \frac{2x}{1 + (x^2 + y^2 + 1)^2}$, $f_x(0, 0) = 0$.

$f_y = \frac{2y}{1 + (x^2 + y^2 + 1)^2}$, $f_y(0, 0) = 0$.

$f_{xx} = \frac{2(1+(x^2+y^2+1)^2) - 2x(2(x^2+y^2+1)(2x))}{(1+(x^2+y^2+1)^2)^2}$, $f_{xx}(0, 0) = \frac{2(1+1) - 0}{2^2} = 1$.

$f_{yy} = \frac{2(1+(x^2+y^2+1)^2) - 2y(2(x^2+y^2+1)(2y))}{(1+(x^2+y^2+1)^2)^2}$, $f_{yy}(0, 0) = \frac{2(1+1) - 0}{2^2} = 1$.

$f_{xy} = \frac{-2x(2(x^2+y^2+1)(2y))}{(1+(x^2+y^2+1)^2)^2}$, $f_{xy}(0, 0) = 0$.

したがって、$P(x, y) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2$.

4. **平衡点と安定性**

$x' = -x^2 - y + 3 = 0$, $y' = y - 2x = 0$.

$y = 2x$ を代入すると、$-x^2 - 2x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1) = 0$.

平衡点: $(1, 2), (-3, -6)$.

ヤコビアン: $J = \begin{pmatrix} -2x & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

$(1, 2)$ でのヤコビアン: $J = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$. $\det(J) = -2 - 2 = -4 < 0$. よって、不安定な鞍点。

$(-3, -6)$ でのヤコビアン: $J = \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$. $\det(J) = 6 - 2 = 4 > 0$, $\text{tr}(J) = 7 > 0$. よって、不安定なノード。

5. **Lotka-Volterra方程式**

$x' = (1 - x - 2y)x = 0$, $y' = (1 - 2x - y)y = 0$.

* (1) 平衡点: $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(0, 1/2)$, $(1/3, 1/3)$.

* (2) ヌルクライン: $x = 0$, $y = 0$, $x + 2y = 1$, $2x + y = 1$. (グラフは省略)

* (3) 安定な平衡点：

ヤコビ行列: $J = \begin{pmatrix} 1-2x-2y & -2x \\ -2y & 1-2x-2y \end{pmatrix}$.

$(0,0): J = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 不安定

$(1,0): J = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ 安定 (trace=-2, det=1)

$(0, 1/2): J = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ サドル

$(1/3, 1/3): J = \begin{pmatrix} -1/3 & -2/3 \\ -2/3 & -1/3 \end{pmatrix}$. $\text{tr}(J) = -2/3 < 0$, $\det(J) = 1/9 - 4/9 = -3/9 = -1/3 < 0$.

3. **最終的な答え**

各問題に対する最終的な答えは以下の通りです。

1. (1) $dc/dt = k_1 a^3 b^2$。 (2) $da/dt = -k_1 ab - k_2 ac^2 + k_{-2} p^2$, $db/dt = -k_1 ab$, $dc/dt = -2k_2 ac^2 + 2k_{-2} p^2$, $dp/dt = 2k_2 ac^2 - 2k_{-2} p^2$

2. (a) $A_1: \lambda_1 = -2, v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\lambda_2 = 1, v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$. $A_2: \lambda = \pm 2i, v = \begin{pmatrix} -2i \\ 1 \end{pmatrix}$. $A_3: \lambda = 2, v = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (重解). (b) $A_1: X(t) = c_1 e^{-2t} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{t} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$. $A_2: X(t) = c_1 \begin{pmatrix} 2 \cos(2t) \\ -\sin(2t) \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 2 \sin(2t) \\ \cos(2t) \end{pmatrix}$. $A_3: X(t) = c_1 e^{2t} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{2t} (t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix})$. (c) $T = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $Y(t) = c_1 e^{-2t} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 e^{t} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

3. $P(x, y) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2$

4. 平衡点: $(1, 2), (-3, -6)$. $(1, 2)$: 不安定な鞍点. $(-3, -6)$: 不安定なノード.

5. (1) 平衡点: $(0, 0), (1, 0), (0, 1/2), (1/3, 1/3)$.

(2),(3) 解軌道のグラフは省略