水草Aの量が増える割合を調べるために、観測を行い、その結果を表にまとめた。3日ごとに水草Aの量が1.32倍になることがわかった。1日ごとの増加率を $r$ としたとき、$r$に関する式を求め、$\log_{10} 1.32$ の値を近似的に求める問題。

1. 問題の内容

水草Aの量が増える割合を調べるために、観測を行い、その結果を表にまとめた。3日ごとに水草Aの量が1.32倍になることがわかった。1日ごとの増加率を $r$ としたとき、$r$に関する式を求め、$\log_{10} 1.32$ の値を近似的に求める問題。

2. 解き方の手順

ア：

3日ごとに1.32倍になることから、1日ごとの増加率 $r$ を用いて、$r^3 = 1.32$ と表せる。したがって、選択肢の中から $r^3$ を選ぶ。

イ：

$r^3 = 1.32$ の両辺の常用対数をとると、

$\log_{10} r^3 = \log_{10} 1.32$

$3 \log_{10} r = \log_{10} 1.32$

$\log_{10} r = \frac{1}{3} \log_{10} 1.32$

与えられた $\log_{10} r =

0. (ウエオカ)$ と比較して、$

0. (ウエオカ) = \frac{1}{3} \log_{10} 1.32$ なので、$\log_{10} 1.32 = 3 \times

0. (ウエオカ)$ であることがわかる。

選択肢の中から $3\log_{10} r$ に最も近い値を選ぶ。

観測日の表から、

3日後の水草Aの量は0日目の水草Aの量の1.32倍になると考えた。

$r$ を1日ごとに一定の倍率で増えると考える。

$r^3 = 1.32$ であるから、

$\log_{10} r^3 = \log_{10} 1.32$

$3 \log_{10} r = \log_{10} 1.32$

$\log_{10} 1.32 \approx \log_{10} \frac{39.6}{30.0} \approx \log_{10} 1.32$

$17.2 \times 1.32 = 22.704 \approx 22.7$

$22.7 \times 1.32 = 29.964 \approx 30.0$

$30.0 \times 1.32 = 39.6$

したがって、1.32倍ずつ増えている。

$r^3 = 1.32$

ここで $\log_{10} 1.32$ の近似値を求める。

与えられた選択肢を見て、$\log_{10} 2 \approx 0.3010$ を利用できるか検討する。

$1.32 = \frac{132}{100} = \frac{33}{25}$

$\log_{10} 1.32 = \log_{10} \frac{33}{25} = \log_{10} 33 - \log_{10} 25 = \log_{10} (3 \times 11) - 2 \log_{10} 5$

$= \log_{10} 3 + \log_{10} 11 - 2 (\log_{10} 10 - \log_{10} 2) = \log_{10} 3 + \log_{10} 11 - 2 (1 - \log_{10} 2)$

近似値がないので、他の選択肢を検討する。

$3 \log_{10} r = \log_{10} 1.32$

$\log_{10} r = \frac{1}{3} \log_{10} 1.32$

選択肢を見ると、0.1206 があるので、これを3倍すると、0.3618 となる。

これは $\log_{10} 2$ より少し大きいので、$\log_{10} 1.32$ として適当な値である。

したがって、$\log_{10} 1.32 \approx 0.1206 \times 3 = 0.3618$ となるはずである。

$\log_{10} r = \frac{1}{3} (0.1206) = 0.0402$

3. 最終的な答え

ア：③

イ：①