傾斜角 $\alpha$ の斜面があり、原点Oから速さ $v_0$ 、角度 $\theta$ で小球Aを投げ上げる。同時に原点Oから小球Bを初速度0で斜面に沿って滑り落とす。小球Bは加速度 $g\sin\alpha$ で運動する。以下の問いに答える。 (1) 時刻 $t$ における小球Aの座標 $(x_A, y_A)$ を求めよ。 (2) 時刻 $t$ における小球Bの座標 $(x_B, y_B)$ を求めよ。 (3) 小球AとBが斜面上で衝突するための $\tan\theta$ の条件を、$v_0$ を含まない式で表せ。

1. 問題の内容

傾斜角 $\alpha$ の斜面があり、原点Oから速さ $v_0$ 、角度 $\theta$ で小球Aを投げ上げる。同時に原点Oから小球Bを初速度0で斜面に沿って滑り落とす。小球Bは加速度 $g\sin\alpha$ で運動する。以下の問いに答える。

(1) 時刻 $t$ における小球Aの座標 $(x_A, y_A)$ を求めよ。

(2) 時刻 $t$ における小球Bの座標 $(x_B, y_B)$ を求めよ。

(3) 小球AとBが斜面上で衝突するための $\tan\theta$ の条件を、$v_0$ を含まない式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) 小球Aの座標 $(x_A, y_A)$ を求める。

小球Aの運動は斜方投射なので、

$x$方向の速度は $v_{0x} = v_0\cos\theta$

$y$方向の速度は $v_{0y} = v_0\sin\theta$

$x$方向の運動は等速直線運動なので、

$x_A = v_0\cos\theta t$

$y$方向の運動は等加速度運動なので、

$y_A = v_0\sin\theta t - \frac{1}{2}gt^2$

(2) 小球Bの座標 $(x_B, y_B)$ を求める。

小球Bは斜面に沿って加速度 $g\sin\alpha$ で運動するので、斜面に沿った距離 $s$ は、

$s = \frac{1}{2}g\sin\alpha t^2$

$x_B = s\cos\alpha = \frac{1}{2}g\sin\alpha\cos\alpha t^2$

$y_B = -s\sin\alpha = -\frac{1}{2}g\sin^2\alpha t^2$

(3) 小球AとBが斜面上で衝突する条件を求める。

斜面の式は $y = -x\tan\alpha$ で表される。

Aが斜面上で衝突するということは、

$y_A = -x_A\tan\alpha$

$v_0\sin\theta t - \frac{1}{2}gt^2 = -v_0\cos\theta t \tan\alpha$

$v_0\sin\theta t + v_0\cos\theta t \tan\alpha = \frac{1}{2}gt^2$

$v_0t(\sin\theta + \cos\theta\tan\alpha) = \frac{1}{2}gt^2$

$t = \frac{2v_0(\sin\theta + \cos\theta\tan\alpha)}{g}$

また、Bが斜面上にいるので

$y_B = -x_B\tan\alpha$

$-\frac{1}{2}g\sin^2\alpha t^2 = -\frac{1}{2}g\sin\alpha\cos\alpha t^2\tan\alpha$

これは常に成り立つ。

AとBが同じ時刻に同じ場所にいれば良いので

$x_A = x_B$

$v_0\cos\theta t = \frac{1}{2}g\sin\alpha\cos\alpha t^2$

$v_0\cos\theta = \frac{1}{2}g\sin\alpha\cos\alpha t$

$t = \frac{2v_0\cos\theta}{g\sin\alpha\cos\alpha}$

2つの $t$ が等しいので

$\frac{2v_0(\sin\theta + \cos\theta\tan\alpha)}{g} = \frac{2v_0\cos\theta}{g\sin\alpha\cos\alpha}$

$\sin\theta + \cos\theta\tan\alpha = \frac{\cos\theta}{\sin\alpha\cos\alpha}$

$\sin\theta\sin\alpha\cos\alpha + \cos\theta\tan\alpha\sin\alpha\cos\alpha = \cos\theta$

$\sin\theta\sin\alpha\cos\alpha + \cos\theta\sin^2\alpha = \cos\theta$

$\sin\theta\sin\alpha\cos\alpha = \cos\theta - \cos\theta\sin^2\alpha = \cos\theta(1 - \sin^2\alpha) = \cos\theta\cos^2\alpha$

$\tan\theta = \frac{\cos\theta\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cot\alpha$

$\tan\theta = \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$

$\tan\theta = \frac{1}{\tan\alpha}$

3. 最終的な答え

(1) $x_A = v_0\cos\theta t$, $y_A = v_0\sin\theta t - \frac{1}{2}gt^2$

(2) $x_B = \frac{1}{2}g\sin\alpha\cos\alpha t^2$, $y_B = -\frac{1}{2}g\sin^2\alpha t^2$

(3) $\tan\theta = \frac{1}{\tan\alpha}$