不等式 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \leq 1$, $x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$ で表される空間の図形の体積を求める問題です。ただし、$a, b, c$ は正の数です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \leq 1$, $x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$ で表される空間の図形の体積を求める問題です。ただし、$a, b, c$ は正の数です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式と $x, y, z \geq 0$ より、求める体積は、平面 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ と、3つの座標平面 $x=0, y=0, z=0$ で囲まれた四面体の体積となります。

この四面体の頂点は $(0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)$ です。

まず、$xy$ 平面上の領域を $D$ とします。$z = 0$ とすると、$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} \leq 1$ となり、$D$ は $x \geq 0, y \geq 0$ かつ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} \leq 1$ を満たす領域になります。$D$上で $x$ を $0$ から $a$ まで積分し、$y$ を $0$ から $b(1 - \frac{x}{a})$ まで積分することで、$D$ の面積が求められます。

領域 $D$ 上で、$z$ を $0$ から $c(1 - \frac{x}{a} - \frac{y}{b})$ まで積分します。

求める体積 $V$ は、以下の三重積分で計算できます。

$$V = \int_{0}^{a} \int_{0}^{b(1-\frac{x}{a})} \int_{0}^{c(1-\frac{x}{a}-\frac{y}{b})} dz \, dy \, dx$$

まず、$z$ について積分します。

$$V = \int_{0}^{a} \int_{0}^{b(1-\frac{x}{a})} c(1 - \frac{x}{a} - \frac{y}{b}) \, dy \, dx$$

次に、$y$ について積分します。

$$V = c \int_{0}^{a} \left[ y - \frac{xy}{a} - \frac{y^2}{2b} \right]_{0}^{b(1-\frac{x}{a})} \, dx$$

$$V = c \int_{0}^{a} \left[ b(1-\frac{x}{a}) - \frac{xb}{a}(1-\frac{x}{a}) - \frac{b^2(1-\frac{x}{a})^2}{2b} \right] \, dx$$

$$V = bc \int_{0}^{a} \left[ 1 - \frac{x}{a} - \frac{x}{a} + \frac{x^2}{a^2} - \frac{1}{2}(1 - \frac{2x}{a} + \frac{x^2}{a^2}) \right] \, dx$$

$$V = bc \int_{0}^{a} \left[ 1 - \frac{2x}{a} + \frac{x^2}{a^2} - \frac{1}{2} + \frac{x}{a} - \frac{x^2}{2a^2} \right] \, dx$$

$$V = bc \int_{0}^{a} \left[ \frac{1}{2} - \frac{x}{a} + \frac{x^2}{2a^2} \right] \, dx$$

$$V = bc \left[ \frac{x}{2} - \frac{x^2}{2a} + \frac{x^3}{6a^2} \right]_{0}^{a}$$

$$V = bc \left[ \frac{a}{2} - \frac{a^2}{2a} + \frac{a^3}{6a^2} \right]$$

$$V = bc \left[ \frac{a}{2} - \frac{a}{2} + \frac{a}{6} \right]$$

$$V = bc \left[ \frac{a}{6} \right] = \frac{abc}{6}$$

3. 最終的な答え

$\frac{abc}{6}$