$n$ を自然数、$x, y$ を正の実数とするとき、以下の問いに答える。 (1) $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$ が成り立つことを示す。 (2) $\frac{1}{2}(\log_{10}x + \log_{10}y) \le \log_{10}(\frac{x+y}{2})$ が成り立つことを示す。 (3) $k$ を $k \le n$ を満たす自然数とするとき、$\frac{1}{2}(\log_{10}k + \log_{10}(n+1-k)) \le \log_{10}(\frac{n+1}{2})$ が成り立つことを示す。 (4) $\log_{10}(n!) \le n \log_{10}(\frac{n+1}{2})$ が成り立つことを示す。 (5) $2024!$ の桁数は $6100$ 以下であることを示す。 ただし、$0.301 < \log_{10} 2 < 0.302, 0.477 < \log_{10} 3 < 0.478$ を用いてよい。

1. 問題の内容

$n$ を自然数、$x, y$ を正の実数とするとき、以下の問いに答える。

(1) $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$ が成り立つことを示す。

(2) $\frac{1}{2}(\log_{10}x + \log_{10}y) \le \log_{10}(\frac{x+y}{2})$ が成り立つことを示す。

(3) $k$ を $k \le n$ を満たす自然数とするとき、$\frac{1}{2}(\log_{10}k + \log_{10}(n+1-k)) \le \log_{10}(\frac{n+1}{2})$ が成り立つことを示す。

(4) $\log_{10}(n!) \le n \log_{10}(\frac{n+1}{2})$ が成り立つことを示す。

(5) $2024!$ の桁数は $6100$ 以下であることを示す。

ただし、$0.301 < \log_{10} 2 < 0.302, 0.477 < \log_{10} 3 < 0.478$ を用いてよい。

2. 解き方の手順

(1) 相加平均と相乗平均の関係を示す。

$x, y$ は正の実数なので、$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \ge 0$ が成り立つ。

$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x - 2\sqrt{xy} + y \ge 0$

$x + y \ge 2\sqrt{xy}$

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$

したがって、$\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$ が成り立つ。

(2) (1)の結果を用いて示す。

$x, y > 0$ に対して $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$ が成り立つ。(1)より)

両辺の底が10の対数をとると、$\log_{10}(\sqrt{xy}) \le \log_{10}(\frac{x+y}{2})$

$\frac{1}{2} \log_{10}(xy) \le \log_{10}(\frac{x+y}{2})$

$\frac{1}{2}(\log_{10}x + \log_{10}y) \le \log_{10}(\frac{x+y}{2})$

(3) (2)の結果を用いて示す。

$k \le n$ より、$k$ と $n+1-k$ は正の整数である。

よって、$\frac{1}{2}(\log_{10}k + \log_{10}(n+1-k)) \le \log_{10}(\frac{k+(n+1-k)}{2})$

$\frac{1}{2}(\log_{10}k + \log_{10}(n+1-k)) \le \log_{10}(\frac{n+1}{2})$

(4) (3)の結果を用いて数学的帰納法で示す。

$n=1$ のとき $\log_{10}(1!) = \log_{10}1 = 0$, $1 \log_{10}(\frac{1+1}{2}) = \log_{10}1 = 0$

よって $\log_{10}(1!) \le 1 \log_{10}(\frac{1+1}{2})$ は成り立つ。

$n=m$ のとき $\log_{10}(m!) \le m \log_{10}(\frac{m+1}{2})$ が成り立つと仮定する。

$n=m+1$ のとき

$\log_{10}((m+1)!) = \log_{10}((m+1) \cdot m!) = \log_{10}(m+1) + \log_{10}(m!)$

$\le \log_{10}(m+1) + m \log_{10}(\frac{m+1}{2})$

$\log_{10}((m+1)!) \le \log_{10}(m+1) + m \log_{10}(\frac{m+1}{2})$

示すべきは $\log_{10}((m+1)!) \le (m+1)\log_{10}(\frac{m+2}{2})$

$\log_{10}(n!) = \sum_{k=1}^n \log_{10} k$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{2}(\log_{10} k + \log_{10} (n+1-k)) = \sum_{k=1}^n \log_{10} (\frac{n+1}{2})$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{2}(\log_{10} k + \log_{10} (n+1-k)) \le \sum_{k=1}^n \log_{10} (\frac{n+1}{2})$

$\sum_{k=1}^n \log_{10} k = \log_{10} n! \le n \log_{10}(\frac{n+1}{2})$

(5) Stirlingの近似式: $n! \approx \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$ を用いるか、(4)を使う。

(4)より $\log_{10}(2024!) \le 2024 \log_{10}(\frac{2025}{2}) = 2024 \log_{10}(1012.5)$

$\log_{10}(2024!) \le 2024 \log_{10}(1012.5) < 2024 \log_{10}(10^3) = 2024 \cdot 3 = 6072$

$2024!$ の桁数 = $\lfloor \log_{10} (2024!) \rfloor + 1 \le 6072 + 1 = 6073 < 6100$

したがって、$2024!$ の桁数は $6100$ 以下である。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$

(2) $\frac{1}{2}(\log_{10}x + \log_{10}y) \le \log_{10}(\frac{x+y}{2})$

(3) $\frac{1}{2}(\log_{10}k + \log_{10}(n+1-k)) \le \log_{10}(\frac{n+1}{2})$

(4) $\log_{10}(n!) \le n \log_{10}(\frac{n+1}{2})$

(5) $2024!$ の桁数は $6100$ 以下である。