2次方程式 $ax^2 + 8ax + 4 = 0$ が、$1 \le x \le 3$ の範囲に実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $ax^2 + 8ax + 4 = 0$ が、$1 \le x \le 3$ の範囲に実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a=0$ の場合を考えます。

$a=0$ のとき、与式は $4=0$ となり、これは明らかに不成立です。したがって、$a \neq 0$ であることが分かります。

次に、$ax^2 + 8ax + 4 = 0$ を $x^2 + 8x + \frac{4}{a} = 0$ と変形します。

解の公式より、$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - \frac{16}{a}}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{4 - \frac{1}{a}}$ となります。

この方程式が実数解を持つためには、判別式 $D = 64 - \frac{16}{a} \ge 0$ である必要があります。

よって、$64 \ge \frac{16}{a}$ となり、$4 \ge \frac{1}{a}$ となります。

$a > 0$ のとき、$4a \ge 1$ より $a \ge \frac{1}{4}$。

$a < 0$ のとき、$4a \le 1$ より $a \le \frac{1}{4}$。しかし、$a<0$ なので、$a<0$。

次に、$x = -4 \pm 2\sqrt{4-\frac{1}{a}}$ が $1 \le x \le 3$ の範囲にある条件を考えます。

$1 \le -4 + 2\sqrt{4-\frac{1}{a}} \le 3$ または $1 \le -4 - 2\sqrt{4-\frac{1}{a}} \le 3$

まず、$1 \le -4 + 2\sqrt{4-\frac{1}{a}} \le 3$ を解きます。

$5 \le 2\sqrt{4-\frac{1}{a}} \le 7$

$\frac{5}{2} \le \sqrt{4-\frac{1}{a}} \le \frac{7}{2}$

$\frac{25}{4} \le 4-\frac{1}{a} \le \frac{49}{4}$

$\frac{25}{4} - 4 \le -\frac{1}{a} \le \frac{49}{4} - 4$

$\frac{9}{4} \le -\frac{1}{a} \le \frac{33}{4}$

$-\frac{33}{4} \le \frac{1}{a} \le -\frac{9}{4}$

したがって、$-\frac{4}{33} \ge a \ge -\frac{4}{9}$.

$-\frac{4}{9} \le a \le -\frac{4}{33}$

次に、$1 \le -4 - 2\sqrt{4-\frac{1}{a}} \le 3$ を解きます。

$5 \le -2\sqrt{4-\frac{1}{a}} \le 7$

$-\frac{7}{2} \le \sqrt{4-\frac{1}{a}} \le -\frac{5}{2}$

これはありえません。なぜなら平方根は非負だからです。

次に $f(x) = ax^2 + 8ax + 4$ とおきます。$1 \le x \le 3$ で実数解を持つ必要十分条件は、$f(1)f(3) \le 0$ または、$f(1) = 0$ または、$f(3) = 0$ です。

$f(1) = a + 8a + 4 = 9a + 4$

$f(3) = 9a + 24a + 4 = 33a + 4$

$f(1)f(3) = (9a+4)(33a+4) \le 0$

$-\frac{4}{9} \le a \le -\frac{4}{33}$

$f(1) = 0$ のとき $a = -\frac{4}{9}$

$f(3) = 0$ のとき $a = -\frac{4}{33}$

$f(1)$と$f(3)$の間に$f'(x) = 0$となるxが挟まる場合を考えます。

$f'(x) = 2ax + 8a = 0$, $x = -4$ これは$1 \le x \le 3$ の範囲に含まれません。

したがって、$a > 0$ の場合も考えなければなりません。

$f(1) > 0$ かつ $f(3) > 0$ になり、$f(\alpha) < 0$となる $\alpha$ があるはずです。

判別式が非負になる条件 $a \ge \frac{1}{4}$を満たす必要があり、軸は$x=-4$なので範囲外。

$a > 0$の場合は解なし

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{9} \le a \le -\frac{4}{33}$

$\frac{12}{33} \le a \le \frac{45}{66}$

したがって、 $\frac{12}{33} \le a \le \frac{4}{9}$

$\frac{1}{3}a \ge \frac{12}{33} \frac{12}{3}a$

$\frac{-4}{9}\le a \le\frac{-4}{33}$ なので $\frac{1}{33}\le a \le \frac{4}{33}$

$\frac{1}{33}

Final Answer: The final answer is $\boxed{\frac{-12}{3}≤a≤ \frac{-45}{67}}$