$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$、$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$のとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2 + y^2$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$、$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$のとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2 + y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ の計算

$x+y = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

$x+y = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$x+y = 2\sqrt{3}$

(2) $xy$ の計算

$xy = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$

これは和と差の積の形なので、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$の公式を利用します。

$xy = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2$

$xy = 3 - 2$

$xy = 1$

(3) $x^2 + y^2$ の計算

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$の公式を利用します。

(1)と(2)で求めた$x+y$と$xy$の値を代入します。

$x^2 + y^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2(1)$

$x^2 + y^2 = 4 \times 3 - 2$

$x^2 + y^2 = 12 - 2$

$x^2 + y^2 = 10$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 2\sqrt{3}$

(2) $xy = 1$

(3) $x^2 + y^2 = 10$