$x$ についての2次方程式 $ax^2 + 8ax + 4 = 0$ が、 $1 \le x \le 3$ の範囲に実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$x$ についての2次方程式 $ax^2 + 8ax + 4 = 0$ が、 $1 \le x \le 3$ の範囲に実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式を変形します。

$ax^2 + 8ax + 4 = 0$

$a=0$ の場合、 $4=0$ となり不適なので、$a \ne 0$ です。$a$で割ることができます。

$x^2 + 8x + \frac{4}{a} = 0$

平方完成します。

$(x+4)^2 - 16 + \frac{4}{a} = 0$

$(x+4)^2 = 16 - \frac{4}{a}$

$x+4 = \pm \sqrt{16 - \frac{4}{a}}$

$x = -4 \pm \sqrt{16 - \frac{4}{a}}$

実数解を持つ条件は、根号の中が0以上であることなので、

$16 - \frac{4}{a} \ge 0$

$16 \ge \frac{4}{a}$

(i) $a > 0$ のとき:

$16a \ge 4$

$a \ge \frac{1}{4}$

(ii) $a < 0$ のとき:

$16a \le 4$

$a \le \frac{1}{4}$

しかし、$a<0$なので、これは常に成立します。

次に、 $1 \le x \le 3$ の範囲に実数解を持つ条件を考えます。

$x = -4 \pm \sqrt{16 - \frac{4}{a}}$ が $1 \le x \le 3$ を満たす必要があります。

$1 \le -4 \pm \sqrt{16 - \frac{4}{a}} \le 3$

まず、$1 \le -4 + \sqrt{16 - \frac{4}{a}} \le 3$ の場合を考えます。

$5 \le \sqrt{16 - \frac{4}{a}} \le 7$

$25 \le 16 - \frac{4}{a} \le 49$

$9 \le -\frac{4}{a} \le 33$

$-33 \le \frac{4}{a} \le -9$

(i) $a > 0$ のとき、これはあり得ません。

(ii) $a < 0$ のとき:

$-33 \le \frac{4}{a} \le -9$

$-\frac{4}{33} \ge a \ge -\frac{4}{9}$

$-\frac{4}{9} \le a \le -\frac{4}{33}$

次に、$1 \le -4 - \sqrt{16 - \frac{4}{a}} \le 3$ の場合を考えます。

$5 \le - \sqrt{16 - \frac{4}{a}} \le 7$

これはあり得ません。

したがって、$-\frac{4}{9} \le a \le -\frac{4}{33}$ と $a \ge \frac{1}{4}$ が実数解を持つ条件とあわせて、

$a \ge \frac{1}{4}$ または $-\frac{4}{9} \le a \le -\frac{4}{33}$

3. 最終的な答え

$a \ge \frac{1}{4}$ または $-\frac{4}{9} \le a \le -\frac{4}{33}$