$x$ についての 2 次方程式 $ax^2 + 4ax + 4 = 0$ が、$1 \le x \le 2$ の範囲に実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$ についての 2 次方程式 $ax^2 + 4ax + 4 = 0$ が、$1 \le x \le 2$ の範囲に実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a=0$ の場合を考えます。

$a=0$のとき、方程式は$4=0$ となり、これは不合理です。

したがって、$a \ne 0$ です。

次に、与えられた 2 次方程式を解きます。

$ax^2 + 4ax + 4 = 0$

$x^2 + 4x + \frac{4}{a} = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - \frac{16}{a}}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{1-\frac{1}{a}}$

$1 \le x \le 2$ より、$x = -2 \pm 2\sqrt{1-\frac{1}{a}}$ がこの範囲に含まれる必要があります。

(i) $x = -2 + 2\sqrt{1 - \frac{1}{a}}$ のとき

$1 \le -2 + 2\sqrt{1 - \frac{1}{a}} \le 2$

$3 \le 2\sqrt{1 - \frac{1}{a}} \le 4$

$\frac{3}{2} \le \sqrt{1 - \frac{1}{a}} \le 2$

$\frac{9}{4} \le 1 - \frac{1}{a} \le 4$

$\frac{5}{4} \le -\frac{1}{a} \le 3$

ここで、$a < 0$ の場合 $-\frac{1}{a} > 0$ なので、$\frac{5}{4} \le -\frac{1}{a} \le 3$ より、

$-\frac{4}{5} \ge a \ge -\frac{1}{3}$

つまり、$-\frac{1}{3} \le a \le -\frac{4}{5}$。ただしこれは誤りで、$-\frac{4}{5} \le a \le -\frac{1}{3}$が正しい。

$a>0$ の場合、$-\frac{1}{a} < 0$ となり、$\frac{5}{4} \le -\frac{1}{a}$ が不成立であるため、$a>0$ は解なし。

(ii) $x = -2 - 2\sqrt{1 - \frac{1}{a}}$ のとき

$1 \le -2 - 2\sqrt{1 - \frac{1}{a}} \le 2$

$3 \le -2\sqrt{1 - \frac{1}{a}} \le 4$

$-\frac{3}{2} \ge \sqrt{1 - \frac{1}{a}} \ge -2$

$\sqrt{1-\frac{1}{a}} \ge 0$なので、これはありえない。

したがって、$-\frac{4}{5} \le a \le -\frac{1}{3}$。

判別式を $D$ とすると、$D = (4a)^2 - 4a(4) = 16a^2 - 16a = 16a(a-1)$.

実数解を持つためには、$D \ge 0$ が必要なので、$a(a-1) \ge 0$.

よって、$a \le 0$ または $a \ge 1$.

これを考慮すると、$-\frac{4}{5} \le a \le -\frac{1}{3}$ を満たします。

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{5} \le a \le -\frac{1}{3}$