行列 $A$, $B$ とベクトル $c$ が与えられたとき、以下の計算を行い、計算不能な場合は「計算不能」と答える問題です。 (i) $AB$, (ii) $^t cB$, (iii) $^tB ^tA$, (iv) $c^t cB$ 与えられた行列とベクトルは次の通りです。 $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$, $c = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ -2 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

行列 $A$, $B$ とベクトル $c$ が与えられたとき、以下の計算を行い、計算不能な場合は「計算不能」と答える問題です。

(i) $AB$, (ii) $^t cB$, (iii) $^tB ^tA$, (iv) $c^t cB$

与えられた行列とベクトルは次の通りです。

$A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$,

$B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$,

$c = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ -2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(i) $AB$ の計算:

行列 $A$ は $2 \times 3$ 行列、行列 $B$ は $3 \times 2$ 行列なので、積 $AB$ は $2 \times 2$ 行列になります。

$AB = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(2) + (2)(3) + (0)(4) & (-1)(0) + (2)(-2) + (0)(-3) \\ (1)(2) + (3)(3) + (1)(4) & (1)(0) + (3)(-2) + (1)(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2+6+0 & 0-4+0 \\ 2+9+4 & 0-6-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -4 \\ 15 & -9 \end{bmatrix}$

(ii) $^t cB$ の計算:

$c$ は $3 \times 1$ の列ベクトルなので、$^t c$ は $1 \times 3$ の行ベクトルになります。 $B$ は $3 \times 2$ の行列なので、$^t cB$ は $1 \times 2$ の行ベクトルになります。

$^t c = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \end{bmatrix}$

$^t cB = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(2) + (-3)(3) + (-2)(4) & (1)(0) + (-3)(-2) + (-2)(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2-9-8 & 0+6+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -15 & 12 \end{bmatrix}$

(iii) $^tB ^tA$ の計算:

$^tA = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $^tB = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & -2 & -3 \end{bmatrix}$

$^tB ^tA = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & -2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(-1) + (3)(2) + (4)(0) & (2)(1) + (3)(3) + (4)(1) \\ (0)(-1) + (-2)(2) + (-3)(0) & (0)(1) + (-2)(3) + (-3)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2+6+0 & 2+9+4 \\ 0-4+0 & 0-6-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 15 \\ -4 & -9 \end{bmatrix}$

(iv) $c^t cB$ の計算:

ベクトル $c$ は $3 \times 1$ 行列、$^t c$ は $1 \times 3$ 行列なので、$c^t c$ は $3 \times 3$ 行列になります。

$c^t c = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1) & (1)(-3) & (1)(-2) \\ (-3)(1) & (-3)(-3) & (-3)(-2) \\ (-2)(1) & (-2)(-3) & (-2)(-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \\ -3 & 9 & 6 \\ -2 & 6 & 4 \end{bmatrix}$

$c^t cB = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \\ -3 & 9 & 6 \\ -2 & 6 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(2) + (-3)(3) + (-2)(4) & (1)(0) + (-3)(-2) + (-2)(-3) \\ (-3)(2) + (9)(3) + (6)(4) & (-3)(0) + (9)(-2) + (6)(-3) \\ (-2)(2) + (6)(3) + (4)(4) & (-2)(0) + (6)(-2) + (4)(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2-9-8 & 0+6+6 \\ -6+27+24 & 0-18-18 \\ -4+18+16 & 0-12-12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -15 & 12 \\ 45 & -36 \\ 30 & -24 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(i) $AB = \begin{bmatrix} 4 & -4 \\ 15 & -9 \end{bmatrix}$

(ii) $^t cB = \begin{bmatrix} -15 & 12 \end{bmatrix}$

(iii) $^tB ^tA = \begin{bmatrix} 4 & 15 \\ -4 & -9 \end{bmatrix}$

(iv) $c^t cB = \begin{bmatrix} -15 & 12 \\ 45 & -36 \\ 30 & -24 \end{bmatrix}$