問題1では、$log_{10}2 = 0.3010$、$log_{10}3 = 0.4771$を用いて、$2^{50}$、$3^{20}$、$6^{25}$の桁数を求めます。問題2では、$log_{10}3 = 0.4771$を用いて、$3^{10}$、$3^{20}$の桁数を求めます。

1. 問題の内容

問題1では、$log_{10}2 = 0.3010$、$log_{10}3 = 0.4771$を用いて、$2^{50}$、$3^{20}$、$6^{25}$の桁数を求めます。問題2では、$log_{10}3 = 0.4771$を用いて、$3^{10}$、$3^{20}$の桁数を求めます。

2. 解き方の手順

問題1

(1) $2^{50}$の桁数を求める。

$log_{10}2^{50} = 50 \times log_{10}2 = 50 \times 0.3010 = 15.05$

桁数は$15.05$の整数部分に1を加えたものなので、16桁。

(2) $3^{20}$の桁数を求める。

$log_{10}3^{20} = 20 \times log_{10}3 = 20 \times 0.4771 = 9.542$

桁数は$9.542$の整数部分に1を加えたものなので、10桁。

(3) $6^{25}$の桁数を求める。

$log_{10}6^{25} = 25 \times log_{10}6 = 25 \times log_{10}(2 \times 3) = 25 \times (log_{10}2 + log_{10}3) = 25 \times (0.3010 + 0.4771) = 25 \times 0.7781 = 19.4525$

桁数は$19.4525$の整数部分に1を加えたものなので、20桁。

問題2

(1) $3^{10}$の桁数を求める。

$log_{10}3^{10} = 10 \times log_{10}3 = 10 \times 0.4771 = 4.771$

桁数は$4.771$の整数部分に1を加えたものなので、5桁。

(2) $3^{20}$の桁数を求める。

$log_{10}3^{20} = 20 \times log_{10}3 = 20 \times 0.4771 = 9.542$

桁数は$9.542$の整数部分に1を加えたものなので、10桁。

3. 最終的な答え

問題1

(1) 16桁

(2) 10桁

(3) 20桁

問題2

(1) 5桁

(2) 10桁