2次関数 $f(x) = x^2 - 6x + 3t^2 - 5t + 9$ があり、$t$ は定数とする。$t \le x \le t+1$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求めよ。 (2) $M$ を $t$ を用いて表せ。 (3) $2 < t < 3$ のとき、$M - m = \frac{1}{2}$ を満たす $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 6x + 3t^2 - 5t + 9$ があり、$t$ は定数とする。$t \le x \le t+1$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求めよ。

(2) $M$ を $t$ を用いて表せ。

(3) $2 < t < 3$ のとき、$M - m = \frac{1}{2}$ を満たす $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 - 6x + 3t^2 - 5t + 9$ を平方完成する。

$f(x) = (x - 3)^2 - 9 + 3t^2 - 5t + 9 = (x - 3)^2 + 3t^2 - 5t$

よって、頂点の座標は $(3, 3t^2 - 5t)$.

(2) $f(x)$ は下に凸な放物線なので、区間 $[t, t+1]$ における最大値 $M$ は、軸 $x = 3$ から遠い方の端点でとる。

(i) $t+1 \le 3$ すなわち $t \le 2$ のとき、$M = f(t+1)$ となる。

$M = (t+1)^2 - 6(t+1) + 3t^2 - 5t + 9 = t^2 + 2t + 1 - 6t - 6 + 3t^2 - 5t + 9 = 4t^2 - 9t + 4$

(ii) $t \ge 3$ のとき、$M = f(t)$ となる。

$M = t^2 - 6t + 3t^2 - 5t + 9 = 4t^2 - 11t + 9$

(iii) $t \le 3 \le t+1$ すなわち $2 \le t \le 3$ のとき、

$t \le \frac{5}{2}$ のとき、$M = f(t+1)$

$M = (t+1)^2 - 6(t+1) + 3t^2 - 5t + 9 = 4t^2 - 9t + 4$

$t \ge \frac{5}{2}$ のとき、$M = f(t)$

$M = t^2 - 6t + 3t^2 - 5t + 9 = 4t^2 - 11t + 9$

よって、

$t \le 2$ のとき、$M = 4t^2 - 9t + 4$

$2 \le t \le \frac{5}{2}$ のとき、$M = 4t^2 - 9t + 4$

$\frac{5}{2} \le t \le 3$ のとき、$M = 4t^2 - 11t + 9$

$t \ge 3$ のとき、$M = 4t^2 - 11t + 9$

したがって、

$t \le \frac{5}{2}$ のとき $M = 4t^2 - 9t + 4$

$t \ge \frac{5}{2}$ のとき $M = 4t^2 - 11t + 9$

(3) $2 < t < 3$ のとき、軸 $x=3$ は区間 $[t, t+1]$ に含まれるので、最小値 $m$ は頂点でとる。よって $m = 3t^2 - 5t$ である。

また $2 < t < 3$ より $\frac{5}{2} < 3$ なので、

$\frac{5}{2} \le t < 3$ のとき $M = 4t^2 - 11t + 9$ となり、

$M - m = 4t^2 - 11t + 9 - (3t^2 - 5t) = t^2 - 6t + 9 = (t-3)^2$

$(t-3)^2 = \frac{1}{2}$ より $t-3 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$t = 3 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$2 < t < 3$ より、$t = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{6 - \sqrt{2}}{2}$

$2 < t < \frac{5}{2}$ のとき $M = 4t^2 - 9t + 4$ となり、

$M - m = 4t^2 - 9t + 4 - (3t^2 - 5t) = t^2 - 4t + 4 = (t-2)^2$

$(t-2)^2 = \frac{1}{2}$ より $t-2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$t = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$2 < t < \frac{5}{2}$ より、$t = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

$\frac{4 + \sqrt{2}}{2} \approx \frac{4 + 1.414}{2} \approx 2.707 < \frac{5}{2} = 2.5$

これは矛盾。

3. 最終的な答え

(1) $(3, 3t^2 - 5t)$

(2) $t \le \frac{5}{2}$ のとき $M = 4t^2 - 9t + 4$, $t \ge \frac{5}{2}$ のとき $M = 4t^2 - 11t + 9$

(3) $t = \frac{6 - \sqrt{2}}{2}$