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$F'(x) = 3x^2 + 8x$ かつ $F(-2) = 3$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

解析学積分微分不定積分関数
2025/4/6

1. 問題の内容

F′(x)=3x2+8xF'(x) = 3x^2 + 8x かつ F(−2)=3F(-2) = 3 を満たす関数 F(x)F(x) を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、F′(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。
F(x)=∫F′(x)dx=∫(3x2+8x)dxF(x) = \int F'(x) dx = \int (3x^2 + 8x) dx
積分を実行すると、
F(x)=x3+4x2+CF(x) = x^3 + 4x^2 + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、条件 F(−2)=3F(-2) = 3 を用いて CC の値を決定します。
F(−2)=(−2)3+4(−2)2+C=−8+16+C=8+C=3F(-2) = (-2)^3 + 4(-2)^2 + C = -8 + 16 + C = 8 + C = 3
したがって、C=3−8=−5C = 3 - 8 = -5 です。
よって、F(x)=x3+4x2−5F(x) = x^3 + 4x^2 - 5 となります。

3. 最終的な答え

F(x)=x3+4x2−5F(x) = x^3 + 4x^2 - 5

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