与えられた導関数 $F'(x) = -3x^2 + 6x - 1$ と条件 $F(2) = 6$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた導関数 $F'(x) = -3x^2 + 6x - 1$ と条件 $F(2) = 6$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求めます。

$F(x) = \int F'(x) \, dx = \int (-3x^2 + 6x - 1) \, dx$

各項を積分します。

$F(x) = -3 \int x^2 \, dx + 6 \int x \, dx - \int 1 \, dx$

$F(x) = -3 \cdot \frac{x^3}{3} + 6 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C$

$F(x) = -x^3 + 3x^2 - x + C$

次に、与えられた条件 $F(2) = 6$ を用いて積分定数 $C$ を求めます。

$F(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 - 2 + C = 6$

$-8 + 12 - 2 + C = 6$

$2 + C = 6$

$C = 4$

したがって、関数 $F(x)$ は次のようになります。

$F(x) = -x^3 + 3x^2 - x + 4$

3. 最終的な答え

$F(x) = -x^3 + 3x^2 - x + 4$