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関数 $F(x)$ を求める問題です。$F(x)$ の導関数 $F'(x)$ が $F'(x) = 6x^2 - 5$ であり、$F(-2) = -3$ という条件が与えられています。

解析学積分導関数積分定数関数の決定
2025/4/6

1. 問題の内容

関数 F(x)F(x) を求める問題です。F(x)F(x) の導関数 F′(x)F'(x) が F′(x)=6x2−5F'(x) = 6x^2 - 5 であり、F(−2)=−3F(-2) = -3 という条件が与えられています。

2. 解き方の手順

* まず、F′(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。
F(x)=∫F′(x)dx=∫(6x2−5)dx=2x3−5x+CF(x) = \int F'(x) dx = \int (6x^2 - 5) dx = 2x^3 - 5x + C
ここで、CC は積分定数です。
* 次に、F(−2)=−3F(-2) = -3 の条件を使って積分定数 CC を決定します。
F(−2)=2(−2)3−5(−2)+C=2(−8)+10+C=−16+10+C=−6+C=−3F(-2) = 2(-2)^3 - 5(-2) + C = 2(-8) + 10 + C = -16 + 10 + C = -6 + C = -3
したがって、C=−3+6=3C = -3 + 6 = 3 です。
* 最後に、CC の値を F(x)F(x) に代入して、求める関数 F(x)F(x) を得ます。
F(x)=2x3−5x+3F(x) = 2x^3 - 5x + 3

3. 最終的な答え

F(x)=2x3−5x+3F(x) = 2x^3 - 5x + 3

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