定積分 $\int_{-2}^{0} (9x^2 + 4x + 3) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{0} (9x^2 + 4x + 3) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $9x^2 + 4x + 3$ の不定積分を求めます。

$x^n$ の不定積分は $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （$C$は積分定数）なので、

$\int (9x^2 + 4x + 3) dx = 9 \int x^2 dx + 4 \int x dx + 3 \int 1 dx$

$= 9 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C$

$= 3x^3 + 2x^2 + 3x + C$

次に、定積分の定義に従って、求めた不定積分に積分区間の上限と下限の値を代入し、その差を計算します。

$\int_{-2}^{0} (9x^2 + 4x + 3) dx = [3x^3 + 2x^2 + 3x]_{-2}^{0}$

$= (3 \cdot 0^3 + 2 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0) - (3 \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 + 3 \cdot (-2))$

$= 0 - (3 \cdot (-8) + 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2))$

$= 0 - (-24 + 8 - 6)$

$= 0 - (-22)$

$= 22$

3. 最終的な答え

22