定積分 $\int_{-1}^{2} (-6x^2 + 6x) dx$ を計算します。

解析学定積分積分多項式

2025/4/6

1. 問題の内容

定積分

\int_{-1}^{2} (-6x^2 + 6x) dx

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を積分します。

\int (-6x^2 + 6x) dx = -6 \int x^2 dx + 6 \int x dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} + 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C = -2x^3 + 3x^2 + C

ここで、

C

は積分定数です。

次に、積分結果に積分区間の上限と下限を代入して、その差を計算します。

\int_{-1}^{2} (-6x^2 + 6x) dx = [-2x^3 + 3x^2]_{-1}^{2} = (-2(2)^3 + 3(2)^2) - (-2(-1)^3 + 3(-1)^2) = (-2(8) + 3(4)) - (-2(-1) + 3(1)) = (-16 + 12) - (2 + 3) = -4 - 5 = -9

3. 最終的な答え

-9

「解析学」の関連問題

関数 $f(x) = (x-1)^2$（$x \geq 1$）の逆関数を $g(x)$ とします。 (1) $g(x)$ を求めます。 (2) $(f \circ g)(x)$ と $(g \circ...

逆関数関数の合成定義域値域

関数 $f(x) = x[x]$ の $x=0$ と $x=1$ における連続性を調べる問題です。ここで、$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数（ガウス記号）を表します。

関数の連続性極限ガウス記号関数の評価

関数 $y = \log(1+x)$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。ただし、対数は自然対数とします。

導関数対数関数微分

2変数関数 $z = e^{ax-y}$ が与えられたとき、$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}...

偏微分2変数関数偏微分方程式

関数 $y = \log(1+x)$ の第n次導関数を求める問題です。ただし、対数は自然対数とします。

導関数対数関数微分一般式

与えられた2つの微分方程式の一般解を求める問題です。 (1) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x - 2y}{2x + y}$ (2) $\frac{dy}{dx} = \frac{3...

微分方程式同次形変数分離法積分

与えられた3つの二変数関数 $f(x, y)$ について、それぞれの偏導関数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial...

偏微分多変数関数微分

与えられた式 $y = e^{\log 2} + 2e^{-\log 2}$ を簡略化して、$y$ の値を求めます。ここで、対数は自然対数 (底が $e$) であると仮定します。

指数関数対数関数式の簡略化自然対数

次の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - \sin x}{x}$

極限三角関数sin微分

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ を示してください。

極限三角関数挟みうちの原理ロピタルの定理