定積分 $\int_{-1}^{2} (-6x^2 + 6x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{2} (-6x^2 + 6x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を積分します。

$\int (-6x^2 + 6x) dx = -6 \int x^2 dx + 6 \int x dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} + 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C = -2x^3 + 3x^2 + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、積分結果に積分区間の上限と下限を代入して、その差を計算します。

$\int_{-1}^{2} (-6x^2 + 6x) dx = [-2x^3 + 3x^2]_{-1}^{2} = (-2(2)^3 + 3(2)^2) - (-2(-1)^3 + 3(-1)^2) = (-2(8) + 3(4)) - (-2(-1) + 3(1)) = (-16 + 12) - (2 + 3) = -4 - 5 = -9$

3. 最終的な答え

-9