次の定積分を計算してください。 $\int_{1}^{4} (3x^2 - 5x) \, dx + \int_{1}^{4} (3x^2 + x) \, dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算してください。

$\int_{1}^{4} (3x^2 - 5x) \, dx + \int_{1}^{4} (3x^2 + x) \, dx$

2. 解き方の手順

まず、積分範囲が同じなので、積分の中身をまとめることができます。

$\int_{1}^{4} (3x^2 - 5x) \, dx + \int_{1}^{4} (3x^2 + x) \, dx = \int_{1}^{4} (3x^2 - 5x + 3x^2 + x) \, dx$

積分の中身を整理します。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 4x) \, dx$

次に、不定積分を計算します。

$\int (6x^2 - 4x) \, dx = 6 \int x^2 \, dx - 4 \int x \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x^3 - 2x^2 + C$

定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 4x) \, dx = [2x^3 - 2x^2]_{1}^{4} = (2(4^3) - 2(4^2)) - (2(1^3) - 2(1^2)) = (2(64) - 2(16)) - (2 - 2) = (128 - 32) - 0 = 96$

3. 最終的な答え

96