3次多項式 $x^3 + 4x^2 - 15x - 18$ を因数分解する。

## 問題 (3) の回答

1. 問題の内容

3次多項式 $x^3 + 4x^2 - 15x - 18$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

多項式 $P(x) = x^3 + 4x^2 - 15x - 18$ の因数を見つけるために、因数定理を使用する。定数項の約数である $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$ を $x$ に代入して $P(x) = 0$ となるものを見つける。

まず、$x=1$ を試すと、$P(1) = 1 + 4 - 15 - 18 = -28 \neq 0$

次に、$x=-1$ を試すと、$P(-1) = -1 + 4 + 15 - 18 = 0$

したがって、$x+1$ は $P(x)$ の因数である。

次に、多項式除算を行う。

```

x^2 + 3x - 18

x+1 | x^3 + 4x^2 - 15x - 18

-(x^3 + x^2)

-------------

3x^2 - 15x

-(3x^2 + 3x)

-------------

-18x - 18

-(-18x - 18)

-------------

0

```

よって、$x^3 + 4x^2 - 15x - 18 = (x+1)(x^2 + 3x - 18)$ となる。

次に、$x^2 + 3x - 18$ を因数分解する。2つの数の積が -18 であり、それらの和が 3 であるような2つの数を見つける必要がある。そのような数は 6 と -3 である。したがって、$x^2 + 3x - 18 = (x+6)(x-3)$ となる。

したがって、$x^3 + 4x^2 - 15x - 18 = (x+1)(x+6)(x-3)$ となる。

3. 最終的な答え

$(x+1)(x+6)(x-3)$

## 問題 (4) の回答

1. 問題の内容

3次多項式 $x^3 - 4x^2 - 11x + 30$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

多項式 $P(x) = x^3 - 4x^2 - 11x + 30$ の因数を見つけるために、因数定理を使用する。定数項の約数である $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 15, \pm 30$ を $x$ に代入して $P(x) = 0$ となるものを見つける。

まず、$x=2$ を試すと、$P(2) = 8 - 16 - 22 + 30 = 0$

したがって、$x-2$ は $P(x)$ の因数である。

次に、多項式除算を行う。

```

x^2 - 2x - 15

x-2 | x^3 - 4x^2 - 11x + 30

-(x^3 - 2x^2)

-------------

-2x^2 - 11x

-(-2x^2 + 4x)

-------------

-15x + 30

-(-15x + 30)

-------------

0

```

よって、$x^3 - 4x^2 - 11x + 30 = (x-2)(x^2 - 2x - 15)$ となる。

次に、$x^2 - 2x - 15$ を因数分解する。2つの数の積が -15 であり、それらの和が -2 であるような2つの数を見つける必要がある。そのような数は -5 と 3 である。したがって、$x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3)$ となる。

したがって、$x^3 - 4x^2 - 11x + 30 = (x-2)(x-5)(x+3)$ となる。

3. 最終的な答え

$(x-2)(x-5)(x+3)$