整式 $x^3 + 2x^2 + ax + b$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りが $3x+1$ であるとき、$a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $x^3 + 2x^2 + ax + b$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りが $3x+1$ であるとき、$a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、整式 $x^3 + 2x^2 + ax + b$ を $(x-1)^2$ で割ったときの商を $q(x)$ とすると、

$$x^3 + 2x^2 + ax + b = (x-1)^2 q(x) + 3x + 1$$

と表すことができます。

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ なので、$q(x)$ は $x+4$の形になることが予想されます。

$x=1$ を代入すると、

$$1^3 + 2(1)^2 + a(1) + b = (1-1)^2 q(1) + 3(1) + 1$$

$$1 + 2 + a + b = 0 + 3 + 1$$

$$3 + a + b = 4$$

$$a + b = 1$$

次に、$x^3 + 2x^2 + ax + b = (x^2 - 2x + 1)(x+4) + 3x + 1$ を展開して整理します。

$$x^3 + 2x^2 + ax + b = x^3 + 4x^2 - 2x^2 - 8x + x + 4 + 3x + 1$$

$$x^3 + 2x^2 + ax + b = x^3 + 2x^2 - 4x + 5$$

したがって、$a = -4$、$b = 5$

ここで、$a+b = 1$ の条件を満たしているか確認します。

$a+b = -4 + 5 = 1$ であるので、$a = -4$、$b = 5$ は条件を満たしています。

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = 5$