(1) 3点A($a$, -1), B(1, 3), C(4, -2) が同一直線上にあるとき、定数 $a$ の値を求める。 (2) 3直線 $2x - y - 1 = 0$, $3x + 2y - 2 = 0$, $y = \frac{1}{2}x + k$ が1点Aで交わるとき、$k$ の値と点Aの座標を求める。

1. 問題の内容

(1) 3点A($a$, -1), B(1, 3), C(4, -2) が同一直線上にあるとき、定数 $a$ の値を求める。

(2) 3直線 $2x - y - 1 = 0$, $3x + 2y - 2 = 0$, $y = \frac{1}{2}x + k$ が1点Aで交わるとき、$k$ の値と点Aの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3点A, B, Cが同一直線上にあるとき、直線ABの傾きと直線BCの傾きが等しくなる。

直線ABの傾きは $\frac{3 - (-1)}{1 - a} = \frac{4}{1 - a}$

直線BCの傾きは $\frac{-2 - 3}{4 - 1} = \frac{-5}{3}$

$\frac{4}{1 - a} = \frac{-5}{3}$

$12 = -5(1 - a)$

$12 = -5 + 5a$

$17 = 5a$

$a = \frac{17}{5}$

(2)

まず、2直線 $2x - y - 1 = 0$ と $3x + 2y - 2 = 0$ の交点Aの座標を求める。

連立方程式

$2x - y - 1 = 0$

$3x + 2y - 2 = 0$

1つ目の式から $y = 2x - 1$

これを2つ目の式に代入する。

$3x + 2(2x - 1) - 2 = 0$

$3x + 4x - 2 - 2 = 0$

$7x - 4 = 0$

$x = \frac{4}{7}$

$y = 2(\frac{4}{7}) - 1 = \frac{8}{7} - \frac{7}{7} = \frac{1}{7}$

交点Aの座標は $(\frac{4}{7}, \frac{1}{7})$

3つ目の直線 $y = \frac{1}{2}x + k$ も点Aを通るので、Aの座標を代入する。

$\frac{1}{7} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} + k$

$\frac{1}{7} = \frac{2}{7} + k$

$k = \frac{1}{7} - \frac{2}{7} = -\frac{1}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{17}{5}$

(2) $k = -\frac{1}{7}$ , 点Aの座標は $(\frac{4}{7}, \frac{1}{7})$