関数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ と $y = -2x^2$ のグラフ上にそれぞれ点B, Cと点A, Dがある。線分BAとCDの長さは等しく、それらはx軸に平行である。点AとDのx座標を$a$とするとき、以下の問いに答える。ただし、$a > 0$とする。 (1) 辺BCの長さを$a$を用いて表す。 (2) 四角形ABCDが正方形になるとき、点Aの座標を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ と $y = -2x^2$ のグラフ上にそれぞれ点B, Cと点A, Dがある。線分BAとCDの長さは等しく、それらはx軸に平行である。点AとDのx座標を$a$とするとき、以下の問いに答える。ただし、$a > 0$とする。

(1) 辺BCの長さを$a$を用いて表す。

(2) 四角形ABCDが正方形になるとき、点Aの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 辺BCの長さを求める。

点Aのx座標は$a$なので、y座標は$y = -\frac{1}{2}a^2$である。したがって、点Aの座標は$(a, -\frac{1}{2}a^2)$である。

点Bのy座標は点Aと同じなので、$-\frac{1}{2}a^2 = -2x^2$となる。

これを$x$について解くと、

$x^2 = \frac{1}{4}a^2$

$x = \pm \frac{1}{2}a$

$a > 0$より、点Bのx座標は$-\frac{1}{2}a$である。したがって、点Bの座標は$(-\frac{1}{2}a, -\frac{1}{2}a^2)$である。

辺BCの長さは、点Bのx座標から点Cのx座標を引いたものである。

点Cのx座標は、点Dのx座標に等しく$a$である。

したがって、辺BCの長さは、

$BC = a - (-\frac{1}{2}a) = \frac{3}{2}a$

(2) 四角形ABCDが正方形になるとき、点Aの座標を求める。

四角形ABCDが正方形であるとき、辺BCの長さと辺CDの長さが等しくなる。

辺BCの長さは$\frac{3}{2}a$である。

点Dのx座標は$a$なので、y座標は$y = -2a^2$である。したがって、点Dの座標は$(a, -2a^2)$である。

辺CDの長さは、点Aのy座標から点Dのy座標を引いたものである。

$CD = -\frac{1}{2}a^2 - (-2a^2) = \frac{3}{2}a^2$

したがって、

$\frac{3}{2}a = \frac{3}{2}a^2$

$a = a^2$

$a^2 - a = 0$

$a(a - 1) = 0$

$a = 0, 1$

$a > 0$より、$a = 1$である。

したがって、点Aの座標は$(1, -\frac{1}{2})$である。

3. 最終的な答え

(1) 辺BCの長さ: $\frac{3}{2}a$

(2) 点Aの座標: $(1, -\frac{1}{2})$