次の3次方程式を解きます。 (1) $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$ (2) $x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = 0$ (3) $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$ (4) $2x^3 - 3x^2 - 4 = 0$

1. 問題の内容

次の3次方程式を解きます。

(1) $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$

(2) $x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = 0$

(3) $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$

(4) $2x^3 - 3x^2 - 4 = 0$

2. 解き方の手順

それぞれの3次方程式について、因数定理を用いて解を一つ見つけ、それを利用して因数分解を行います。

(1) $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$

$P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$ とおきます。

$P(1) = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$ より、$x=1$ は解なので、$x-1$ は因数です。

組立除法を行うと、

\begin{array}{c|cccc}

1 & 1 & 4 & 1 & -6 \\

& & 1 & 5 & 6 \\

\hline

& 1 & 5 & 6 & 0 \\

\end{array}

よって、$(x-1)(x^2 + 5x + 6) = 0$

$(x-1)(x+2)(x+3) = 0$

したがって、$x = 1, -2, -3$

(2) $x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = 0$

$P(x) = x^3 + 4x^2 + 5x + 2$ とおきます。

$P(-1) = -1 + 4 - 5 + 2 = 0$ より、$x=-1$ は解なので、$x+1$ は因数です。

組立除法を行うと、

\begin{array}{c|cccc}

-1 & 1 & 4 & 5 & 2 \\

& & -1 & -3 & -2 \\

\hline

& 1 & 3 & 2 & 0 \\

\end{array}

よって、$(x+1)(x^2 + 3x + 2) = 0$

$(x+1)(x+1)(x+2) = 0$

$(x+1)^2(x+2) = 0$

したがって、$x = -1, -2$

(3) $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$

$P(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ とおきます。

$P(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ より、$x=1$ は解なので、$x-1$ は因数です。

組立除法を行うと、

\begin{array}{c|cccc}

1 & 1 & -3 & 0 & 2 \\

& & 1 & -2 & -2 \\

\hline

& 1 & -2 & -2 & 0 \\

\end{array}

よって、$(x-1)(x^2 - 2x - 2) = 0$

$x^2 - 2x - 2 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

したがって、$x = 1, 1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3}$

(4) $2x^3 - 3x^2 - 4 = 0$

$P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 4$ とおきます。

$P(2) = 2(8) - 3(4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$ より、$x=2$ は解なので、$x-2$ は因数です。

組立除法を行うと、

\begin{array}{c|cccc}

2 & 2 & -3 & 0 & -4 \\

& & 4 & 2 & 4 \\

\hline

& 2 & 1 & 2 & 0 \\

\end{array}

よって、$(x-2)(2x^2 + x + 2) = 0$

$2x^2 + x + 2 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(2)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{-15}}{4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{15}}{4}$

したがって、$x = 2, \frac{-1 + i\sqrt{15}}{4}, \frac{-1 - i\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, -2, -3$

(2) $x = -1, -2$

(3) $x = 1, 1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3}$

(4) $x = 2, \frac{-1 + i\sqrt{15}}{4}, \frac{-1 - i\sqrt{15}}{4}$