定積分 $\int_{-2}^{0} (9x^2 + 4x + 3) dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{0} (9x^2 + 4x + 3) dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $9x^2 + 4x + 3$ の不定積分を求めます。

$\int (9x^2 + 4x + 3) dx = 9\int x^2 dx + 4\int x dx + 3\int dx$

各項を積分すると、

$9\int x^2 dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3$

$4\int x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2$

$3\int dx = 3x$

したがって、不定積分は $3x^3 + 2x^2 + 3x + C$ となります。（ここで、$C$ は積分定数です。）

次に、定積分を計算します。積分区間は $-2$ から $0$ なので、

$\int_{-2}^{0} (9x^2 + 4x + 3) dx = [3x^3 + 2x^2 + 3x]_{x=-2}^{x=0}$

$x = 0$ を代入すると、$3(0)^3 + 2(0)^2 + 3(0) = 0$

$x = -2$ を代入すると、$3(-2)^3 + 2(-2)^2 + 3(-2) = 3(-8) + 2(4) + 3(-2) = -24 + 8 - 6 = -22$

したがって、定積分は $0 - (-22) = 22$ となります。

3. 最終的な答え

22