$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。 (1) $\cos 2x - 5\cos x + 3 = 0$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。

(1) $\cos 2x - 5\cos x + 3 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2x - 5\cos x + 3 = 0$

$\cos 2x$ を $\cos x$ で表すために、2倍角の公式を用いる。

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$

これを代入すると、

$2\cos^2 x - 1 - 5\cos x + 3 = 0$

$2\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0$

ここで、$\cos x = t$ とおくと、

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

$(2t - 1)(t - 2) = 0$

よって、$t = \frac{1}{2}, 2$

$t = \cos x$ なので、

$\cos x = \frac{1}{2}$ または $\cos x = 2$

$\cos x$ の範囲は $-1 \le \cos x \le 1$ であるから、$\cos x = 2$ は解なし。

したがって、$\cos x = \frac{1}{2}$ を解く。

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、$\cos x = \frac{1}{2}$ を満たす $x$ は、

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$