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定積分 $\int_{-1}^{2} (6x-5) dx$ を計算する問題です。

解析学定積分積分
2025/4/6

1. 問題の内容

定積分 ∫−12(6x−5)dx\int_{-1}^{2} (6x-5) dx を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 6x−56x-5 の不定積分を求めます。
∫(6x−5)dx=6∫xdx−5∫1dx=6⋅x22−5x+C=3x2−5x+C\int (6x-5) dx = 6 \int x dx - 5 \int 1 dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + C = 3x^2 - 5x + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、定積分の定義に従って計算します。
不定積分の結果を F(x)=3x2−5xF(x) = 3x^2 - 5x とすると、
∫−12(6x−5)dx=F(2)−F(−1)\int_{-1}^{2} (6x-5) dx = F(2) - F(-1)
F(2)=3(2)2−5(2)=3(4)−10=12−10=2F(2) = 3(2)^2 - 5(2) = 3(4) - 10 = 12 - 10 = 2
F(−1)=3(−1)2−5(−1)=3(1)+5=3+5=8F(-1) = 3(-1)^2 - 5(-1) = 3(1) + 5 = 3 + 5 = 8
よって、
∫−12(6x−5)dx=F(2)−F(−1)=2−8=−6\int_{-1}^{2} (6x-5) dx = F(2) - F(-1) = 2 - 8 = -6

3. 最終的な答え

-6

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