与えられた式 $x^2 + xy + x - 3y - 12$ を因数分解し、$(x - \text{ク})(x + y + \text{ケ})$ の形にする。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy + x - 3y - 12$ を因数分解し、$(x - \text{ク})(x + y + \text{ケ})$ の形にする。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + xy + x - 3y - 12$ を $(x - a)(x + y + b)$ の形に因数分解できると仮定する。展開すると、

$$(x - a)(x + y + b) = x^2 + xy + bx - ax - ay - ab = x^2 + xy + (b - a)x - ay - ab$$

この式が $x^2 + xy + x - 3y - 12$ と等しくなるためには、各項の係数が一致する必要がある。したがって、

\begin{align*}

b - a &= 1 \\

-a &= -3 \\

-ab &= -12

\end{align*}

2番目の式から $a = 3$ が得られる。これを1番目の式に代入すると、

$b - 3 = 1$ より $b = 4$ となる。

また、3番目の式に $a = 3$ と $b = 4$ を代入すると、$-3 \cdot 4 = -12$ となり、これは3番目の式と一致する。

したがって、

$$x^2 + xy + x - 3y - 12 = (x - 3)(x + y + 4)$$

3. 最終的な答え

$(x - 3)(x + y + 4)$