集合 A, B が与えられ、 $A = \{n | n \text{ は 10 で割り切れる自然数}\}$ $B = \{n | n \text{ は 4 で割り切れる自然数}\}$ (1) 自然数 $n$ が $A$ に属すること、つまり、$n$ が 10 で割り切れることは、$n$ が 2 で割り切れるための何条件か。 自然数 $n$ が $B$ に属すること、つまり、$n$ が 4 で割り切れることは、$n$ が 20 で割り切れるための何条件か。 (2) 以下の集合 $C, D, E$ を、$A$ と $B$ を用いて表す。 $C = \{n | n \text{ は 10 と 4 のいずれでも割り切れる自然数}\}$ $D = \{n | n \text{ は 10 でも 4 でも割り切れない自然数}\}$ $E = \{n | n \text{ は 20 で割り切れない自然数}\}$

1. 問題の内容

集合 A, B が与えられ、

$A = \{n | n \text{ は 10 で割り切れる自然数}\}$

$B = \{n | n \text{ は 4 で割り切れる自然数}\}$

(1) 自然数 $n$ が $A$ に属すること、つまり、$n$ が 10 で割り切れることは、$n$ が 2 で割り切れるための何条件か。

自然数 $n$ が $B$ に属すること、つまり、$n$ が 4 で割り切れることは、$n$ が 20 で割り切れるための何条件か。

(2) 以下の集合 $C, D, E$ を、$A$ と $B$ を用いて表す。

$C = \{n | n \text{ は 10 と 4 のいずれでも割り切れる自然数}\}$

$D = \{n | n \text{ は 10 でも 4 でも割り切れない自然数}\}$

$E = \{n | n \text{ は 20 で割り切れない自然数}\}$

2. 解き方の手順

(1)

* $n$ が $A$ に属することは、$n$ が 10 で割り切れることである。$n$ が 10 で割り切れるならば、$n$ は 2 で割り切れる。しかし、$n$ が 2 で割り切れても、$n$ が 10 で割り切れるとは限らない（例えば、$n=2$）。したがって、$n$ が 10 で割り切れることは、$n$ が 2 で割り切れるための十分条件である。

$n$ が 2 で割り切れることは、$n$ が 10 で割り切れるための必要条件である。よって、「カ」は「② 十分条件であるが、必要条件でない」となる。

* $n$ が $B$ に属することは、$n$ が 4 で割り切れることである。$n$ が 4 で割り切れるならば、$n$ が 20 で割り切れるとは限らない（例えば、$n=4$）。しかし、$n$ が 20 で割り切れるならば、$n$ は 4 で割り切れる。したがって、$n$ が 4 で割り切れることは、$n$ が 20 で割り切れるための必要条件である。

$n$ が 20 で割り切れることは、$n$ が 4 で割り切れるための十分条件である。よって、「キ」は「① 必要条件であるが、十分条件でない」となる。

(2)

* $C = \{n | n \text{ は 10 と 4 のいずれでも割り切れる自然数}\}$ は、$A$ または $B$ に属する自然数の集合なので、$C = A \cup B$ である。よって、「ク」は「⓪ $A \cup B$」となる。

* $D = \{n | n \text{ は 10 でも 4 でも割り切れない自然数}\}$ は、$A$ にも $B$ にも属さない自然数の集合なので、$D = \overline{A} \cap \overline{B}$ である。これは、$D = \overline{A \cup B}$ とも表せる。選択肢の中に $\overline{A \cup B}$ はないので、ド・モルガンの法則を使うと、$D = \overline{A \cup B}$ = $\overline{A} \cap \overline{B}$ 。 よって、「ケ」は「⑥ $\overline{A} \cap \overline{B}$」となる。

* $E = \{n | n \text{ は 20 で割り切れない自然数}\}$ である。20 は 4 と 5 の最小公倍数なので、20 で割り切れないということは、$A \cap B$の補集合を表すことになる。つまり $E = \overline{A \cap B}$である。選択肢の中に $\overline{A \cap B}$ はないので、ド・モルガンの法則を使うと、$E = \overline{A \cap B}$ = $\overline{A} \cup \overline{B}$ 。

よって、「コ」は「② $\overline{A} \cup \overline{B}$」となる。

3. 最終的な答え

(1) カ: ②, キ: ①

(2) ク: ⓪, ケ: ⑥, コ: ②