問題1：0から5までの異なる数字を3つ並べて3桁の整数を作る。それらを小さい順に並べたとき、46番目の整数を求める。 問題2：大人2人と子ども4人が円形の6人席のテーブルに着席する。 (1) 大人2人が向かい合うような並び方は何通りあるか。 (2) 大人2人の間に子どもがちょうど1人入るような並び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

問題1：0から5までの異なる数字を3つ並べて3桁の整数を作る。それらを小さい順に並べたとき、46番目の整数を求める。

問題2：大人2人と子ども4人が円形の6人席のテーブルに着席する。

(1) 大人2人が向かい合うような並び方は何通りあるか。

(2) 大人2人の間に子どもがちょうど1人入るような並び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

問題1：

まず、百の位が1である数を数える。百の位が0では3桁の整数にならないので、1から始める。

百の位が1のとき、十の位は0,2,3,4,5のいずれかであり、一の位は十の位以外の4つの数字のいずれかである。

したがって、百の位が1である3桁の整数は $5 \times 4 = 20$ 個ある。

同様に、百の位が2である3桁の整数は、十の位が0,1,3,4,5のいずれかであり、一の位は十の位以外の4つの数字のいずれかであるので、$5 \times 4 = 20$ 個ある。

百の位が3である3桁の整数は、十の位が0,1,2,4,5のいずれかであり、一の位は十の位以外の4つの数字のいずれかであるので、$5 \times 4 = 20$ 個ある。

したがって、3桁の整数を小さい順に並べたとき、$20 + 20 = 40$ 番目の数は、百の位が2の最大のもの、すなわち254である。

41番目の数は301、42番目の数は302、43番目の数は304、44番目の数は305、45番目の数は310、46番目の数は312である。

問題2(1)：

まず、2人の大人の席を決める。円卓なので、一人の席を固定すると、もう一人の席は向かい側の一通りに決まる。

次に、残りの4人の子どもの席を考える。4人の子どもは残りの4つの席に自由に座ることができるので、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りの座り方がある。

したがって、大人2人が向かい合う座り方は24通りである。

問題2(2)：

まず、大人2人の席を決める。大人2人の間に子どもが1人入るように座る場合、大人2人と子供1人が占める席の組み合わせを考える。円卓なので、大人の1人の席を固定する。もう一人の大人の席は、隣の席から一つ飛ばした席に座る必要がある。したがって、大人2人と子供1人の席の組み合わせは2通りである。大人の席順は2通りあるので、$2\times2=4$通りである。

次に、2人の大人の間に座る子どもを決める。4人の子どもから1人を選ぶので、4通りの選び方がある。

残りの3人の子どもは、残りの3つの席に自由に座ることができるので、$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りの座り方がある。

したがって、大人2人の間に子どもがちょうど1人入る座り方は、$2 \times 4 \times 6 = 48$通りである。

3. 最終的な答え

問題1：312

問題2(1)：24通り

問題2(2)：48通り