(1) 5人の人を3つの部屋A, B, Cに入れる方法の数を求めます。ただし、どの部屋にも誰もいない状態を許容します。 (2) 5人の人を3つのグループA, B, Cに分ける方法の数を求めます。

## 問題23

1. 問題の内容

(1) 5人の人を3つの部屋A, B, Cに入れる方法の数を求めます。ただし、どの部屋にも誰もいない状態を許容します。

(2) 5人の人を3つのグループA, B, Cに分ける方法の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 各人は3つの部屋のいずれかに入ることができます。したがって、各人は3通りの選択肢があります。5人いるので、すべての可能な組み合わせの数は、$3^5$です。

(2) こちらの問題は、部屋に区別がない（つまり、部屋A, B, Cの区別がない）場合に、5人を3つのグループに分ける場合の数を求めます。これは問題文に部屋の区別がないという記述がないため、正確には解釈が難しい問題です。問題文からは区別があるともないとも読み取れるからです。ここでは、一般的な解釈として、部屋に区別があるものとして計算をします。

まず、5人を3つのグループに分けるすべての可能な組み合わせの数を考える必要があります。空のグループが存在することを許容するため、次の3つのケースを考慮します。

* 1つのグループに5人全員が入る場合: 3通りの方法（A, B, Cのいずれかのグループに全員が入る）

* 1つのグループに4人が入り、別のグループに1人が入る場合: ${5 \choose 4}$は5人から4人を選ぶ組み合わせの数です。残りの1人は自動的に別のグループに入ります。4人のグループを選ぶのが3通り、1人のグループの選び方が2通りあるので、${5 \choose 4} \times 3 \times 2 = 5 \times 6 = 30$通りです。

* 1つのグループに3人が入り、別のグループに2人が入る場合: ${5 \choose 3}$は5人から3人を選ぶ組み合わせの数です。残りの2人は自動的に別のグループに入ります。3人のグループを選ぶのが3通り、2人のグループの選び方が2通りあるので、${5 \choose 3} \times 3 \times 2 = 10 \times 6 = 60$通りです。

* 1つのグループに3人が入り、別のグループに1人、もう一つのグループにもう1人が入る場合: ${5 \choose 3}$は5人から3人を選ぶ組み合わせの数です。残りの2人から1人を選び、もう一つのグループに入れる組み合わせは${2 \choose 1}$です。最後に残った1人は最後のグループに入ります。${5 \choose 3} \times {2 \choose 1} \times 3! = 10 \times 2 \times 6 = 120$通りです。ただし、最後の式ではグループの区別を考慮して $3!$ を掛けていますが、各グループの区別が問題文で明示されていないため、必ずしも正しいとは限りません。

それぞれのケースにおける分け方を合計して、$3+30+60+120 = 213$通りとなります。しかし、この答えはあくまでグループに区別があるとした場合であり、正確な解釈のためには問題文の修正が必要です。

3. 最終的な答え

(1) 243通り

(2) 解釈によって答えが異なります。グループに区別がある場合、213通りです。問題文を修正して、グループの区別があるかどうかを明確にする必要があります。

## 問題24

1. 問題の内容

正十角形について、以下の数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 正十角形の10個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数を求めることになります。これは、${10 \choose 3}$で計算できます。

${10 \choose 3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(2) 正十角形の10個の頂点から2個を選ぶ組み合わせの総数は、${10 \choose 2}$で計算できます。しかし、これは辺の数（10）と対角線の数を合わせたものなので、辺の数を引く必要があります。

${10 \choose 2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

したがって、対角線の本数は $45 - 10 = 35$本です。

3. 最終的な答え

(1) 120個

(2) 35本

## 問題25

1. 問題の内容

"YOKOHAMA"の8文字を1列に並べる。OとAが必ず偶数番目にある並べ方は何通りあるかを求めます。

2. 解き方の手順

"YOKOHAMA"の文字の内訳は、Y:1個, O:2個, K:1個, H:1個, A:2個, M:1個です。

偶数番目の位置は、2, 4, 6, 8番目の4箇所です。OとAの合計4文字をこの4箇所に配置する必要があります。

* OとAの配置: Oが2個、Aが2個なので、4箇所からOの2箇所を選ぶ方法は${4 \choose 2}$通りです。残りの2箇所は自動的にAで埋まります。${4 \choose 2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り

* 残りの4文字(Y, K, H, M)の配置: 残りの4文字を奇数番目の4箇所に配置する方法は、4!通りです。$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通り

したがって、OとAが必ず偶数番目にある並べ方は、$6 \times 24 = 144$通りです。

3. 最終的な答え

144通り