(1) 男子3人、女子3人の計6人が1列に並ぶとき、男子3人が隣り合う並び方は何通りあるか。 (2) 5個の数字0, 1, 2, 3, 4を用いて作った各位の数字がすべて異なる5桁の整数について、小さい方から55番目の数は何か。 (3) 右の図のような街路がある。PからRまたはSを通ってQに行く最短経路は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 男子3人、女子3人の計6人が1列に並ぶとき、男子3人が隣り合う並び方は何通りあるか。

(2) 5個の数字0, 1, 2, 3, 4を用いて作った各位の数字がすべて異なる5桁の整数について、小さい方から55番目の数は何か。

(3) 右の図のような街路がある。PからRまたはSを通ってQに行く最短経路は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 男子3人をひとまとめにして1人と考える。すると、並び方は女子3人と合わせて4人の並び方になるので $4!$ 通り。

また、男子3人の中での並び方は $3!$ 通り。

したがって、求める並び方は $4! \times 3!$ 通り。

(2) 5個の数字0, 1, 2, 3, 4を用いて作った各位の数字がすべて異なる5桁の整数について、小さい方から55番目の数を求める。

まず、1万の位が1の場合の数を考える。残りの4桁は0, 2, 3, 4の並び替えなので $4! = 24$ 通り。

次に、1万の位が2の場合の数を考える。残りの4桁は0, 1, 3, 4の並び替えなので $4! = 24$ 通り。

この時点で $24 + 24 = 48$ 通り。

次に、1万の位が3の場合の数を考える。

30124, 30142, 30214, 30241, 30412, 30421, ...

1万の位が3で始まる最小の数は30124である。49番目から数える。

30124 (49番目)

30142 (50番目)

30214 (51番目)

30241 (52番目)

30412 (53番目)

30421 (54番目)

31024 (55番目)

(3) PからRを通ってQに行く最短経路の数を求める。

PからRまでの最短経路は、右に2回、下に1回移動するので、

$\frac{3!}{2!1!} = 3$ 通り。

RからQまでの最短経路は、右に1回、下に3回移動するので、

$\frac{4!}{1!3!} = 4$ 通り。

したがって、PからRを通ってQに行く最短経路は $3 \times 4 = 12$ 通り。

PからSを通ってQに行く最短経路の数を求める。

PからSまでの最短経路は、右に1回、下に2回移動するので、

$\frac{3!}{1!2!} = 3$ 通り。

SからQまでの最短経路は、右に2回、下に2回移動するので、

$\frac{4!}{2!2!} = 6$ 通り。

したがって、PからSを通ってQに行く最短経路は $3 \times 6 = 18$ 通り。

PからRまたはSを通ってQに行く最短経路は $12 + 18 = 30$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 144通り

(2) 31024

(3) 30通り