1から9までの数字をそれぞれ1回ずつ使って9桁の整数を作るとき、以下の条件を満たす整数の個数を求める。 (1) 2, 4, 6, 8 がどれも隣り合わない。 (2) 2, 4, 6, 8 だけを見たとき、2, 4, 6, 8 の順に並んでいる。 (3) 3, 6, 9 がどれも隣り合わず、さらに、3, 6, 9 だけを見たとき、3 が先頭である。

1. 問題の内容

1から9までの数字をそれぞれ1回ずつ使って9桁の整数を作るとき、以下の条件を満たす整数の個数を求める。

(1) 2, 4, 6, 8 がどれも隣り合わない。

(2) 2, 4, 6, 8 だけを見たとき、2, 4, 6, 8 の順に並んでいる。

(3) 3, 6, 9 がどれも隣り合わず、さらに、3, 6, 9 だけを見たとき、3 が先頭である。

2. 解き方の手順

(1) 2, 4, 6, 8 がどれも隣り合わない場合

まず、1, 3, 5, 7, 9 の5つの数字を並べる。これは $5!$ 通りある。

次に、並べられた5つの数字の間とその両端の計6箇所に2, 4, 6, 8 の4つの数字を配置する。

これは、6箇所から4箇所を選ぶ順列なので、 $P(6, 4) = \frac{6!}{(6-4)!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ 通りある。

したがって、求める整数の個数は

$5! \times P(6, 4) = 120 \times 360 = 43200$ 個である。

(2) 2, 4, 6, 8 だけを見たとき、2, 4, 6, 8 の順に並んでいる場合

まず、9個の数字を並べる順列は $9!$ 通りある。

2, 4, 6, 8 を区別しないものとして並べると、$9!$ 通りの並べ方の中に 2, 4, 6, 8 が任意の順序で並んでいるものがある。

2, 4, 6, 8 の順序は $4!$ 通りあるが、条件を満たすものはそのうちの1通りだけである。

したがって、求める整数の個数は $\frac{9!}{4!} = \frac{362880}{24} = 15120$ 個である。

(3) 3, 6, 9 がどれも隣り合わず、さらに、3, 6, 9 だけを見たとき、3 が先頭である場合

まず、1, 2, 4, 5, 7, 8 の6つの数字を並べる。これは $6!$ 通りある。

次に、並べられた6つの数字の間とその両端の計7箇所に3, 6, 9 の3つの数字を配置する。

3, 6, 9 だけを見たとき、3 が先頭であるという条件から、3, 6, 9 の並び順は369の1通りに決まる。

7箇所から3箇所を選ぶ順列で、その数字の並びが369となるものは、$C(7, 3)$通り。

$C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

したがって、求める整数の個数は

$6! \times C(7, 3) = 720 \times 35 = 25200$ 個である。

3. 最終的な答え

(1) 43200個

(2) 15120個

(3) 25200個