全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{2, 4, 6, 8\}$, $C = \{6, 8\}$ について、以下の集合を求めよ。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $A \cap C$ (4) $B \cup C$ (5) $\overline{A}$ (6) $\overline{A} \cap B$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{2, 4, 6, 8\}$, $C = \{6, 8\}$ について、以下の集合を求めよ。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $A \cap C$

(4) $B \cup C$

(5) $\overline{A}$

(6) $\overline{A} \cap B$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、集合 $A$ と $B$ の共通部分です。つまり、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素を集めた集合です。

(2) $A \cup B$ は、集合 $A$ と $B$ の和集合です。つまり、$A$ または $B$ に含まれる要素をすべて集めた集合です。

(3) $A \cap C$ は、集合 $A$ と $C$ の共通部分です。つまり、$A$ と $C$ の両方に含まれる要素を集めた集合です。

(4) $B \cup C$ は、集合 $B$ と $C$ の和集合です。つまり、$B$ または $C$ に含まれる要素をすべて集めた集合です。

(5) $\overline{A}$ は、集合 $A$ の補集合です。つまり、全体集合 $U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素を集めた集合です。

(6) $\overline{A} \cap B$ は、集合 $\overline{A}$ と $B$ の共通部分です。つまり、$\overline{A}$ と $B$ の両方に含まれる要素を集めた集合です。

計算過程：

(1) $A \cap B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \cap \{2, 4, 6, 8\} = \{2, 4\}$

(2) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \cup \{2, 4, 6, 8\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$

(3) $A \cap C = \{1, 2, 3, 4, 5\} \cap \{6, 8\} = \{\}$

(4) $B \cup C = \{2, 4, 6, 8\} \cup \{6, 8\} = \{2, 4, 6, 8\}$

(5) $\overline{A} = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} - \{1, 2, 3, 4, 5\} = \{6, 7, 8\}$

(6) $\overline{A} \cap B = \{6, 7, 8\} \cap \{2, 4, 6, 8\} = \{6, 8\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{2, 4\}$

(2) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$

(3) $A \cap C = \{\}$ (空集合)

(4) $B \cup C = \{2, 4, 6, 8\}$

(5) $\overline{A} = \{6, 7, 8\}$

(6) $\overline{A} \cap B = \{6, 8\}$