(1) 1から5までの5個の数字をすべて使って5桁の整数を作るとき、偶数は全部で何個できるか。 (2) 1から7までの7個の数字から異なる3個の数字を取り出して並べ、3桁の整数を作るとき、200から500の間の整数は全部で何個できるか。 (3) 7人を4人、2人、1人の3組に分ける方法は、全部で何通りあるか。 (4) 男子3人、女子2人が一列に並ぶとき、女子が両端にくる並び方は、全部で何通りあるか。 (5) 1, 2, 3, 4, 5, 6の6つの数字を一列に並べるとき、1の両隣りが2と3になるような並べ方は、全部で何通りあるか。 (6) 5つの文字a, b, c, d, eを一列に並べるとき、aとbが隣り合わない並べ方は、全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 1から5までの5個の数字をすべて使って5桁の整数を作るとき、偶数は全部で何個できるか。

(2) 1から7までの7個の数字から異なる3個の数字を取り出して並べ、3桁の整数を作るとき、200から500の間の整数は全部で何個できるか。

(3) 7人を4人、2人、1人の3組に分ける方法は、全部で何通りあるか。

(4) 男子3人、女子2人が一列に並ぶとき、女子が両端にくる並び方は、全部で何通りあるか。

(5) 1, 2, 3, 4, 5, 6の6つの数字を一列に並べるとき、1の両隣りが2と3になるような並べ方は、全部で何通りあるか。

(6) 5つの文字a, b, c, d, eを一列に並べるとき、aとbが隣り合わない並べ方は、全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

5桁の整数が偶数になるためには、一の位が偶数である必要があります。1から5の数字の中で偶数は2と4の2つです。

一の位が2の場合、残りの4桁は1, 3, 4, 5の並び替えなので、4! = 24通り。

一の位が4の場合、残りの4桁は1, 2, 3, 5の並び替えなので、4! = 24通り。

したがって、偶数は全部で 24 + 24 = 48個です。

(2)

3桁の整数が200から500の間であるためには、百の位が2, 3, 4のいずれかである必要があります。

百の位が2の場合、残りの十の位と一の位は1, 3, 4, 5, 6, 7の6個から2つ選んで並べるので、$_6P_2 = 6 \times 5 = 30$通り。

百の位が3の場合、残りの十の位と一の位は1, 2, 4, 5, 6, 7の6個から2つ選んで並べるので、$_6P_2 = 6 \times 5 = 30$通り。

百の位が4の場合、残りの十の位と一の位は1, 2, 3, 5, 6, 7の6個から2つ選んで並べるので、$_6P_2 = 6 \times 5 = 30$通り。

したがって、200から500の間の整数は全部で 30 + 30 + 30 = 90個です。

(3)

まず7人から4人を選ぶ方法は $_7C_4$ 通り。

残りの3人から2人を選ぶ方法は $_3C_2$ 通り。

最後に残った1人を選ぶ方法は $_1C_1$ 通り。

したがって、7人を4人、2人、1人の3組に分ける方法は $_7C_4 \times _3C_2 \times _1C_1 = \frac{7!}{4!3!} \times \frac{3!}{2!1!} \times 1 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times 3 \times 1 = 35 \times 3 = 105$通り。

(4)

女子が両端にくる並び方は、まず両端に女子2人を並べる方法が $2! = 2$ 通り。

残りの3人の男子を並べる方法は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

したがって、女子が両端にくる並び方は全部で $2 \times 6 = 12$通り。

(5)

1の両隣りが2と3になる並び方は、(2, 1, 3) または (3, 1, 2) の2通り。

この(2, 1, 3)または(3, 1, 2)を一つの塊として考えると、残りの数字は4, 5, 6の3つ。

したがって、この塊と3つの数字を並べる方法は 4! = 24通り。

よって、1の両隣りが2と3になる並べ方は 2 * 24 = 48通り。

(6)

5つの文字a, b, c, d, eを一列に並べる方法は全部で $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通り。

aとbが隣り合う並べ方を考える。aとbを一つの塊として考えると、残りの文字はc, d, eの3つ。

したがって、この塊と3つの文字を並べる方法は 4! = 24通り。

aとbの並び方はa,bとb,aの2通りあるので、aとbが隣り合う並べ方は $2 \times 24 = 48$通り。

aとbが隣り合わない並べ方は、全体の並べ方からaとbが隣り合う並べ方を引けばよいので、 $120 - 48 = 72$通り。

3. 最終的な答え

(1) 48

(2) 90

(3) 105

(4) 12

(5) 48

(6) 72