異なる6個の宝石があるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 6個の宝石を机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。 (2) 6個の宝石で首飾りを作るとき、何種類の首飾りができるか。 (3) 6個の宝石から4個を取り出し、机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

異なる6個の宝石があるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 6個の宝石を机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。

(2) 6個の宝石で首飾りを作るとき、何種類の首飾りができるか。

(3) 6個の宝石から4個を取り出し、机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 円順列の総数は、(n-1)! で計算できます。

6個の宝石を円形に並べるので、n=6を代入します。

$(6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

(2) 首飾りは裏返すと同じものとみなされるため、円順列の総数を2で割ります。

$\frac{120}{2} = 60$

(3) まず、6個の宝石から4個を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは $_6C_4$ で表されます。

$_6C_4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

次に、選んだ4個の宝石を円形に並べる方法を計算します。これは (4-1)! = 3! で表されます。

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

したがって、4個を選んで円形に並べる総数は、組み合わせの数と円順列の数を掛け合わせます。

$15 \times 6 = 90$

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 60種類

(3) 90通り