問題1：100以下の自然数のうち、(1) 4の倍数または6の倍数である数、(2) 4の倍数でも6の倍数でもない数、(3) 4の倍数であるが6の倍数ではない数を求める。 問題2：(1) 360の正の約数の個数を求める。(2) $(a+b)(x+y+z)$ を展開したときの項の個数を求める。 問題3：4桁の自然数のうち、各桁の数字がすべて異なるものの個数を求める。 問題4：大人2人、子供5人が1列に並ぶとき、(1) 大人2人が隣り合う並び方、(2) 両端に子供がくる並び方を求める。 問題5：先生2人と生徒6人が円形のテーブルに向かって座るとき、(1) 座り方全部の場合の数、(2) 先生2人が隣り合う座り方、(3) 先生2人が向かい合う座り方を求める。 問題6：5個の数字1,2,3,4,5を用いて作られる3桁の整数は何個あるか。ただし、同じ数字を繰り返し用いてもよい。 問題7：A組の生徒10人、B組の生徒5人の計15人から6人の委員を選ぶとき、(1) A組4人、B組2人を選ぶ選び方、(2) 少なくとも1人はB組から選ぶ選び方を求める。 問題8：9人の生徒を(1) 4人、3人、2人の3組、(2) 3人、3人、3人の3組、(3) 5人、2人、2人の3組に分ける方法を求める。 問題9：coffeeという語の6文字すべてを並べてできる順列のうち、2つのfが隣り合わないものの総数を求める。 問題10：赤球、青球、黄球、白球の4個を円状に並べる並べ方の総数について、栄さんが $\frac{4!}{4}$ 通りと考えた理由を答える。

1. 問題の内容

問題1：100以下の自然数のうち、(1) 4の倍数または6の倍数である数、(2) 4の倍数でも6の倍数でもない数、(3) 4の倍数であるが6の倍数ではない数を求める。

問題2：(1) 360の正の約数の個数を求める。(2) $(a+b)(x+y+z)$ を展開したときの項の個数を求める。

問題3：4桁の自然数のうち、各桁の数字がすべて異なるものの個数を求める。

問題4：大人2人、子供5人が1列に並ぶとき、(1) 大人2人が隣り合う並び方、(2) 両端に子供がくる並び方を求める。

問題5：先生2人と生徒6人が円形のテーブルに向かって座るとき、(1) 座り方全部の場合の数、(2) 先生2人が隣り合う座り方、(3) 先生2人が向かい合う座り方を求める。

問題6：5個の数字1,2,3,4,5を用いて作られる3桁の整数は何個あるか。ただし、同じ数字を繰り返し用いてもよい。

問題7：A組の生徒10人、B組の生徒5人の計15人から6人の委員を選ぶとき、(1) A組4人、B組2人を選ぶ選び方、(2) 少なくとも1人はB組から選ぶ選び方を求める。

問題8：9人の生徒を(1) 4人、3人、2人の3組、(2) 3人、3人、3人の3組、(3) 5人、2人、2人の3組に分ける方法を求める。

問題9：coffeeという語の6文字すべてを並べてできる順列のうち、2つのfが隣り合わないものの総数を求める。

問題10：赤球、青球、黄球、白球の4個を円状に並べる並べ方の総数について、栄さんが $\frac{4!}{4}$ 通りと考えた理由を答える。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) 4の倍数の個数、6の倍数の個数、12(4と6の最小公倍数)の倍数の個数をそれぞれ求め、4の倍数または6の倍数の個数 = 4の倍数の個数 + 6の倍数の個数 - 12の倍数の個数 で求める。

(2) 4の倍数である個数と6の倍数である個数を求め、100から4の倍数ではない個数を引き、4の倍数だが6の倍数でもある数を引く。

(3) (1)で求めた数から4の倍数かつ6の倍数である数の個数を引く。

問題2:

(1) 360を素因数分解し、$360=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$。約数の個数は$(3+1)(2+1)(1+1)$で求める。

(2) $(a+b)$から2つの項を、$x+y+z$から3つの項を選んで掛け合わせるので、項の数は $2 \times 3$ で求める。

問題3:

千の位は0以外の9通り、百の位は千の位で使った数字以外の9通り、十の位は千の位と百の位で使った数字以外の8通り、一の位は千、百、十の位で使った数字以外の7通り。よって、$9 \times 9 \times 8 \times 7$ で求める。

問題4:

(1) 大人2人をひとまとめにして考え、6人並ぶ並び方を計算する。その後、大人2人の並び方を考慮する。

(2) 両端に子供を並べる並び方を計算し、残りの5人の並び方を計算する。

問題5:

(1) 円順列なので、全体の場合の数は $(8-1)!$

(2) 先生2人をひとまとめにして考え、7人の円順列を計算する。その後、先生2人の並び方を考慮する。

(3) 1人を固定し、もう1人が向かい合う席に座るようにする。残りの席に6人が座る並び方を計算する。

問題6:

各桁で5つの数字から1つ選べるので、$5 \times 5 \times 5$ で求める。

問題7:

(1) A組から4人選ぶ組み合わせと、B組から2人選ぶ組み合わせを計算し、それらを掛け合わせる。

(2) 全体の場合の数からB組から誰も選ばない場合の数を引く。

問題8:

(1) 9人から4人、残り5人から3人、残り2人から2人を選ぶ組み合わせを計算する。

(2) 9人から3人、残り6人から3人、残り3人から3人を選ぶ組み合わせを計算し、3組が同じ人数なので、3!で割る。

(3) 9人から5人、残り4人から2人、残り2人から2人を選ぶ組み合わせを計算し、2組が同じ人数なので、2!で割る。

問題9:

6文字すべてを並べる総数を求め、2つのfが隣り合う場合の数を求め、全体から隣り合う場合を引く。

問題10:

異なるn個のものを円形に並べる場合の数は $(n-1)!$である。

今回は4個の球を並べるので、 $(4-1)!=3!=6$となる。

栄さんの式$\frac{4!}{4}$は、4個のものを直線上に並べる場合の数を4で割ったもの。

これは、直線上に並べた4個のものを円形に並べると、4通りの直線的な並び方が同じ円順列になるため。

4で割ることで、回転して同じになる重複をなくしている。

3. 最終的な答え

問題1:

(1) 33個

(2) 67個

(3) 17個

問題2:

(1) 24個

(2) 6個

問題3:

4536個

問題4:

(1) 720通り

(2) 1440通り

問題5:

(1) 5040通り

(2) 1440通り

(3) 720通り

問題6:

125個

問題7:

(1) 2100通り

(2) 4999通り

問題8:

(1) 1260通り

(2) 280通り

(3) 126通り

問題9:

120通り

問題10:

4個のものを直線上に並べる場合の数を4で割ったもの。直線上に並べた4個のものを円形に並べると、4通りの直線的な並び方が同じ円順列になるため。