佐藤さんと鈴木さんが組合せの計算について話している。組合せの計算を階乗を用いて表現したり、最短経路の問題を組合せを用いて解いたりする。具体的には、 * 組合せ ${}_nC_r$ を階乗で表す。 * 仙台高校の教室の図で、ある点からある点まで最短経路の数を求める。 * ${}_nC_r = {}_nC_{n-r} + {}_{n-1}C_r$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

佐藤さんと鈴木さんが組合せの計算について話している。組合せの計算を階乗を用いて表現したり、最短経路の問題を組合せを用いて解いたりする。具体的には、

* 組合せ ${}_nC_r$ を階乗で表す。

* 仙台高校の教室の図で、ある点からある点まで最短経路の数を求める。

* ${}_nC_r = {}_nC_{n-r} + {}_{n-1}C_r$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

まず、組合せの式を階乗で表すことを考える。${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ である。したがって、

$イ = r, ウ = n-r, エ = n$ となる。

次に、最短経路の問題を解く。

(1) AからBまで行く最短経路は、右に5マス、上に7マス進む必要がある。したがって、全部で12マス進むうち、右に進む5マスを選ぶ場合の数に等しい。つまり、${}_{12}C_5 = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$ 通り。

(2) AからCを通ってBまで行く最短経路は、AからCまで行く最短経路の数と、CからBまで行く最短経路の数を掛け合わせたものになる。AからCまでは右に2マス、上に3マス進むので、${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。CからBまでは右に3マス、上に4マス進むので、${}_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。したがって、AからCを通ってBまで行く最短経路は $10 \times 35 = 350$ 通り。つまり、$ク$ は積を表す②である。

(3) AからDまで行く最短経路は、右に5マス、上に2マス進むので、${}_7C_5 = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通り。AからEまで行く最短経路は、右に0マス、上に7マス進むので、1通り。

(4) ${}_nC_r = {}_nC_{n-r} + {}_{n-1}C_r$ を示す。この式は誤りである。正しい式は ${}_{n+1}C_r = {}_nC_{r-1} + {}_nC_r$ である。問題文中の式は ${}_nC_r = {}_nC_{n-r} + {}_{n-1}C_r$ となっているが、これは一般的には成立しない。

最終的な答えをまとめる。

イ=r, ウ=n-r, エ=n

オカキ = 792

シスセ = 21

ソタチ = 1

ク = ②

3. 最終的な答え

イ:r

ウ:n-r

エ:n

オカキ:792

ク:②

シスセ:21

ソタチ:1

${}_{n+1}C_r = {}_nC_{r-1} + {}_nC_r$