与えられた集合に対して、共通部分（$A \cap B$）と和集合（$A \cup B$）を求めたり、条件を満たす自然数の個数を求めたり、集合の要素の個数を求める問題です。具体的には、 (1) 与えられた集合A, Bに対して、$A \cap B$ と $A \cup B$ を求める問題(4問)。 (2) 2桁の自然数の中で、与えられた条件を満たす数の個数を求める問題(2問)。 (3) 全体集合とその部分集合の情報から、指定された集合の要素の個数を求める問題(4問)。

1. 問題の内容

与えられた集合に対して、共通部分（$A \cap B$）と和集合（$A \cup B$）を求めたり、条件を満たす自然数の個数を求めたり、集合の要素の個数を求める問題です。具体的には、

(1) 与えられた集合A, Bに対して、$A \cap B$ と $A \cup B$ を求める問題(4問)。

(2) 2桁の自然数の中で、与えられた条件を満たす数の個数を求める問題(2問)。

(3) 全体集合とその部分集合の情報から、指定された集合の要素の個数を求める問題(4問)。

2. 解き方の手順

(1) 集合 $A$ と $B$ が与えられているとき、

* $A \cap B$ (AかつB) は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

* $A \cup B$ (AまたはB) は、$A$ に含まれるか、$B$ に含まれるか、または両方に含まれる要素の集合です。

(2) 2桁の自然数について、

* 2桁の自然数は10から99までの整数です。

* 4で割り切れない数を求めるには、まず2桁の自然数の中に4で割り切れる数がいくつあるかを調べ、全体の数から引きます。

* 2桁の自然数の個数は、99 - 10 + 1 = 90 個です。

(3) 集合の要素の個数に関する問題について、

* $n(U)$ は全体集合 $U$ の要素の個数を表します。

* $n(A)$ は集合 $A$ の要素の個数を表します。

* $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ が成り立ちます。

* $n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

以下に、各問題の答えを示します。

1. (1) $A \cap B = \{1, 3\}$, $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7\}$

(2) $A \cap B = \{4\}$, $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 8, 11\}$

(3) $A = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}, B = \{1, 3, 9, 27\}$, $A \cap B = \{1, 3, 9\}$, $A \cup B = \{1, 2, 3, 6, 9, 18, 27\}$

(4) $A = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\}, B = \{1, 4, 7, 10, 13\}$, $A \cap B = \{1, 7, 13\}$, $A \cup B = \{1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 13\}$

2. (1) 68個

(2) 解答に必要な情報が不足しています。

3. (1) $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ より、$70 = n(A) + 40 - 15$ なので、$n(A) = 45$

(2) $n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B) = 45 - 15 = 30$

(3) $n(\overline{A}) = n(U) - n(A) = 100 - 45 = 55$

(4) $n(\overline{B}) = n(U) - n(B) = 100 - 40 = 60$