問題20：7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる数字を使って以下の数を何個作れるか。 (1) 5桁の整数 (2) 4桁の奇数 (3) 5桁の偶数 問題21：次の問いに答えよ。 (1) 異なる8個の玉を机の上で円形に並べるとき、並べ方は何通りあるか。 (2) 9か国の首相が円卓会議を行う。着席の方法は何通りあるか。 問題22：5人が1回じゃんけんをするとき、手の出し方は何通りあるか。

1. 問題の内容

問題20：7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる数字を使って以下の数を何個作れるか。

(1) 5桁の整数

(2) 4桁の奇数

(3) 5桁の偶数

問題21：次の問いに答えよ。

(1) 異なる8個の玉を机の上で円形に並べるとき、並べ方は何通りあるか。

(2) 9か国の首相が円卓会議を行う。着席の方法は何通りあるか。

問題22：5人が1回じゃんけんをするとき、手の出し方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

問題20

(1) 5桁の整数

5桁の整数を作る場合、先頭の桁は0以外である必要があります。

まず、先頭の桁の選び方は6通りです（1から6のいずれか）。

次に、残りの4桁は、残りの6個の数字から4個を選んで並べるので、$P(6, 4)$通りです。

したがって、5桁の整数の個数は$6 \times P(6, 4)$で計算できます。

$P(6, 4) = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

$6 \times 360 = 2160$

(2) 4桁の奇数

4桁の奇数を作る場合、末尾の桁は奇数である必要があります。

末尾の桁は1, 3, 5のいずれかである必要があるので、末尾の選び方は3通りです。

次に、先頭の桁は0以外である必要があります。

場合分けが必要です。

i) 末尾が0でない奇数の場合、先頭の桁は0以外の5通りです。

残りの2桁は、残りの5個の数字から2個を選んで並べるので、$P(5, 2)$通りです。

$P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$

$5 \times 20 \times 3 = 300$

ii) 末尾が0である場合、残りの3桁は0以外の6個の数字から3個を選んで並べるので、$P(6, 3)$通りです。

$P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$

したがって、4桁の奇数の個数は300通りです。

(3) 5桁の偶数

5桁の偶数を作る場合、末尾の桁は偶数である必要があります。

末尾の桁は0, 2, 4, 6のいずれかである必要があるので、末尾の選び方は4通りです。

i) 末尾が0の場合、先頭の桁は0以外の6通りです。残りの3桁は、残りの5個の数字から3個を選んで並べるので、$P(6, 3)$通りです。

$P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$

$1 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

ii) 末尾が2, 4, 6の場合、先頭の桁は0以外の5通りです。残りの3桁は、残りの5個の数字から3個を選んで並べるので、$P(5, 3)$通りです。

$P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$

$3 \times (6-1) \times P(5, 3)= 3 \times 5 \times 60 = 900$

したがって、5桁の偶数の個数は$360+900=1260$通りです。

問題21

(1) 異なる8個の玉を机の上で円形に並べるとき、並べ方は$(8-1)! = 7!$通りです。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

(2) 9か国の首相が円卓会議を行う。着席の方法は$(9-1)! = 8!$通りです。

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$

問題22

5人が1回じゃんけんをするとき、手の出し方はそれぞれグー、チョキ、パーの3通りがあるので、$3^5$通りです。

$3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$

3. 最終的な答え

問題20

(1) 2160個

(2) 300個

(3) 1260個

問題21

(1) 5040通り

(2) 40320通り

問題22

243通り