集合 $X = \{1, 2, 3\}$ の部分集合 $A$, $B$ で、以下の条件を満たす組 $(A, B)$ の個数を求める問題です。 (i) $B \subset A$ (ii) 集合 $B$ の要素の個数が、$B$ の要素でもある。

1. 問題の内容

集合 $X = \{1, 2, 3\}$ の部分集合 $A$, $B$ で、以下の条件を満たす組 $(A, B)$ の個数を求める問題です。

(i) $B \subset A$

(ii) 集合 $B$ の要素の個数が、$B$ の要素でもある。

2. 解き方の手順

条件(ii)より、$B$ の要素数は $1, 2, 3$ のいずれかです。

* $B$ が空集合のとき: $B = \emptyset$ です。条件(i)より、$A$ は $X$ の任意の部分集合で良いので、$A$ は $2^3 = 8$ 通りあります。

* $B$ の要素数が1のとき: $B$ の要素数が 1 であることと、その要素数が $B$ の要素であることから、$B = \{1\}$ となります。このとき、条件(i)より $A$ は $B$ を含み、$X$ の部分集合なので、$A$ は $\{1\}$, $\{1, 2\}$, $\{1, 3\}$, $\{1, 2, 3\}$ のいずれかです。したがって、$A$ は $4$ 通りあります。

* $B$ の要素数が2のとき: $B$ の要素数が 2 であることと、その要素数が $B$ の要素であることから、$B = \{2, x\}$ の形になります。ここで、$x$ は、$X$ の要素で $x \neq 2$ でなくてはなりません。したがって、$B = \{2, 1\}$ または $B = \{2, 3\}$となります。

* $B = \{1, 2\}$ のとき: 条件(i)より、$A$ は $B$ を含み、$X$ の部分集合なので、$A$ は $\{1, 2\}$ または $\{1, 2, 3\}$ のいずれかです。したがって、$A$ は $2$ 通りあります。

* $B = \{2, 3\}$ のとき: 条件(i)より、$A$ は $B$ を含み、$X$ の部分集合なので、$A$ は $\{2, 3\}$ または $\{1, 2, 3\}$ のいずれかです。したがって、$A$ は $2$ 通りあります。

* $B$ の要素数が3のとき: $B$ の要素数が 3 であることと、その要素数が $B$ の要素であることから、$B = \{3, x, y\}$ の形になります。ここで、$x,y$ は、$X$ の要素で $x,y \neq 3$ でなくてはなりません。したがって、$B = \{1, 2, 3\}$となります。条件(i)より、$A$ は $B$ を含み、$X$ の部分集合なので、$A$ は $\{1, 2, 3\}$ のみです。したがって、$A$ は $1$ 通りあります。

よって、条件を満たす $(A, B)$ の組の数は、 $8 + 4 + 2 + 2 + 1 = 17$ 個です。

3. 最終的な答え

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