問題8について： (1) 6人がA、Bの2つの部屋に入る方法は何通りあるかを求めます。ただし、全員が1つの部屋に入っても良いとします。 (2) 6人を2つの組に分ける方法は何通りあるかを求めます。

1. 問題の内容

問題8について：

(1) 6人がA、Bの2つの部屋に入る方法は何通りあるかを求めます。ただし、全員が1つの部屋に入っても良いとします。

(2) 6人を2つの組に分ける方法は何通りあるかを求めます。

2. 解き方の手順

(1)

各人がAまたはBの部屋に入る2通りの選択肢があります。したがって、6人全員の入り方は $2^6 = 64$ 通りです。

ただし、全員がAの部屋に入る場合と、全員がBの部屋に入る場合の2通りは条件を満たします。

したがって、求める場合の数は $2^6 = 64$。

(2)

6人を2つの組に分けるということは、1つの組に1人以上入っていれば良い。

まず、6人の中から1人を選ぶ方法、2人を選ぶ方法、3人を選ぶ方法、4人を選ぶ方法、5人を選ぶ方法を考え、残りの人をもう一つのグループとします。

6人の中からk人を選ぶ組み合わせの数は $_6C_k$ で表されます。

ただし、人数が入れ替わってもグループ分けとしては同じなので、$_6C_1$と$_6C_5$, $_6C_2$と$_6C_4$はそれぞれ同じグループ分けとなります。$_6C_3$の場合は2つのグループの人数が同じなので、2で割る必要があります。

$_6C_1 = \frac{6!}{1!5!} = 6$

$_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、求める場合の数は $6 + 15 + \frac{20}{2} = 6 + 15 + 10 = 31$通りです。

または、6人を区別しない2つのグループに分ける方法をS(6,1) + S(6,2)で計算することもできます。

S(6,1)は6人を1つのグループにまとめる方法なので1通り。

S(6,2)は6人を2つのグループに分ける方法なので2^(6-1) -1 = 31通り。

3. 最終的な答え

(1) 64通り

(2) 31通り