0000から9999までの4桁の番号について、以下の2つの条件を満たすものの個数を求めます。 (1) 同じ数字を2個ずつ含むもの (2) 異なる数字が左から小さい順に並んでいるもの

1. 問題の内容

0000から9999までの4桁の番号について、以下の2つの条件を満たすものの個数を求めます。

(1) 同じ数字を2個ずつ含むもの

(2) 異なる数字が左から小さい順に並んでいるもの

2. 解き方の手順

(1) 同じ数字を2個ずつ含むもの

まず、使用する2つの数字を選びます。これは0から9までの10個の数字から2つを選ぶ組み合わせなので、$\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$通りです。

次に、選んだ2つの数字(例えばa, b)を並び替えます。aとbは区別できるので、並び方は$\frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = 6$通りです。

したがって、同じ数字を2個ずつ含むものは$45 \times 6 = 270$個あります。

(2) 異なる数字が左から小さい順に並んでいるもの

これは、0から9までの10個の数字から4つを選ぶ組み合わせを考えることと同じです。なぜなら、4つの数字を選べば、それらを小さい順に並べる方法は1つしかないからです。

したがって、異なる数字が左から小さい順に並んでいるものは$\binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$個あります。

3. 最終的な答え

(1) 270個

(2) 210個