次の定積分を計算します。 $\int_{1}^{2} (6x^2 - 10x + 9) \, dx - \int_{4}^{2} (6x^2 - 10x + 9) \, dx$

解析学定積分積分計算積分区間微積分

2025/4/6

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

\int_{1}^{2} (6x^2 - 10x + 9) \, dx - \int_{4}^{2} (6x^2 - 10x + 9) \, dx

2. 解き方の手順

まず、2つ目の積分を積分区間を入れ替えて符号を変えます。

\int_{1}^{2} (6x^2 - 10x + 9) \, dx + \int_{2}^{4} (6x^2 - 10x + 9) \, dx

次に、積分区間を結合します。

\int_{1}^{4} (6x^2 - 10x + 9) \, dx

被積分関数を積分します。

\int (6x^2 - 10x + 9) \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 10 \cdot \frac{x^2}{2} + 9x + C = 2x^3 - 5x^2 + 9x + C

定積分を計算します。

\int_{1}^{4} (6x^2 - 10x + 9) \, dx = [2x^3 - 5x^2 + 9x]_{1}^{4}

= (2(4^3) - 5(4^2) + 9(4)) - (2(1^3) - 5(1^2) + 9(1))

= (2(64) - 5(16) + 36) - (2 - 5 + 9)

= (128 - 80 + 36) - (6)

= 84 - 6

= 78

3. 最終的な答え

78

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