次の定積分を計算します。 $\int_{1}^{2} (6x^2 - 10x + 9) \, dx - \int_{4}^{2} (6x^2 - 10x + 9) \, dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} (6x^2 - 10x + 9) \, dx - \int_{4}^{2} (6x^2 - 10x + 9) \, dx$

2. 解き方の手順

まず、2つ目の積分を積分区間を入れ替えて符号を変えます。

$\int_{1}^{2} (6x^2 - 10x + 9) \, dx + \int_{2}^{4} (6x^2 - 10x + 9) \, dx$

次に、積分区間を結合します。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 10x + 9) \, dx$

被積分関数を積分します。

$\int (6x^2 - 10x + 9) \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 10 \cdot \frac{x^2}{2} + 9x + C = 2x^3 - 5x^2 + 9x + C$

定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 10x + 9) \, dx = [2x^3 - 5x^2 + 9x]_{1}^{4}$

$= (2(4^3) - 5(4^2) + 9(4)) - (2(1^3) - 5(1^2) + 9(1))$

$= (2(64) - 5(16) + 36) - (2 - 5 + 9)$

$= (128 - 80 + 36) - (6)$

$= 84 - 6$

$= 78$

3. 最終的な答え

78