与えられた10個の微分方程式をそれぞれ解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた10個の微分方程式をそれぞれ解く問題です。

2. 解き方の手順

それぞれの微分方程式に対して、変数分離法や積分などの適切な方法を用いて解を求めます。

(1) $\frac{dx}{dt} = at + b$

変数分離して積分します。

$\int dx = \int (at + b) dt$

$x = \frac{1}{2}at^2 + bt + C$ (Cは積分定数)

(2) $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{at + b}$

変数分離して積分します。

$\int dx = \int \frac{1}{at + b} dt$

$x = \frac{1}{a} \ln|at+b| + C$ (Cは積分定数)

(3) $\frac{dx}{dt} = \frac{t}{at^2 + b}$

変数分離して積分します。

$\int dx = \int \frac{t}{at^2 + b} dt$

$x = \frac{1}{2a} \ln|at^2 + b| + C$ (Cは積分定数)

(4) $\frac{dx}{dt} = e^{at+b}$

変数分離して積分します。

$\int dx = \int e^{at+b} dt$

$x = \frac{1}{a}e^{at+b} + C$ (Cは積分定数)

(5) $\frac{dx}{dt} = ax$

変数分離して積分します。

$\int \frac{1}{x} dx = \int a dt$

$\ln|x| = at + C_1$

$x = e^{at+C_1} = e^{C_1} e^{at} = C e^{at}$ (Cは積分定数)

(6) $\frac{dx}{dt} = ax^2$

変数分離して積分します。

$\int \frac{1}{x^2} dx = \int a dt$

$-\frac{1}{x} = at + C_1$

$x = -\frac{1}{at + C_1} = \frac{1}{C - at}$ (Cは積分定数)

(7) $\frac{dx}{dt} = ax + b$

変数分離して積分します。

$\int \frac{1}{ax+b} dx = \int dt$

$\frac{1}{a} \ln|ax+b| = t + C_1$

$\ln|ax+b| = at + aC_1$

$ax + b = e^{at+aC_1} = e^{aC_1} e^{at} = Ce^{at}$

$x = \frac{1}{a}(Ce^{at} - b)$ (Cは積分定数)

(8) $\frac{dx}{dt} = a - bx$

変数分離して積分します。

$\int \frac{1}{a-bx} dx = \int dt$

$-\frac{1}{b} \ln|a-bx| = t + C_1$

$\ln|a-bx| = -bt - bC_1$

$a-bx = e^{-bt-bC_1} = e^{-bC_1}e^{-bt} = Ce^{-bt}$

$bx = a - Ce^{-bt}$

$x = \frac{a}{b} - \frac{C}{b}e^{-bt} = \frac{a}{b} + Ce^{-bt}$ (Cは積分定数)

(9) $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{ax + b}$

変数分離して積分します。

$\int (ax + b) dx = \int dt$

$\frac{1}{2}ax^2 + bx = t + C$

$ax^2 + 2bx = 2t + 2C$

$ax^2 + 2bx - (2t + 2C) = 0$

$x = \frac{-2b \pm \sqrt{4b^2 + 4a(2t+2C)}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 2a(t+C)}}{a}$ (Cは積分定数)

(10) $\frac{dx}{dt} = e^{ax+b}$

変数分離して積分します。

$\int e^{-ax-b} dx = \int dt$

$-\frac{1}{a} e^{-ax-b} = t + C_1$

$e^{-ax-b} = -a(t + C_1)$

$-ax-b = \ln(-a(t+C_1))$

$x = -\frac{1}{a} \ln(-a(t+C_1)) - \frac{b}{a}$

$x = -\frac{1}{a} \ln(-a(t+C)) - \frac{b}{a}$ (Cは積分定数)

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}at^2 + bt + C$

(2) $x = \frac{1}{a} \ln|at+b| + C$

(3) $x = \frac{1}{2a} \ln|at^2 + b| + C$

(4) $x = \frac{1}{a}e^{at+b} + C$

(5) $x = C e^{at}$

(6) $x = \frac{1}{C - at}$

(7) $x = \frac{1}{a}(Ce^{at} - b)$

(8) $x = \frac{a}{b} + Ce^{-bt}$

(9) $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 2a(t+C)}}{a}$

(10) $x = -\frac{1}{a} \ln(-a(t+C)) - \frac{b}{a}$

ここで、$C$ は積分定数です。