与えられた10個の微分方程式を解く問題です。各方程式は $dx/dt = f(t)$ または $dx/dt = f(x)$ の形をしています。

1. 問題の内容

与えられた10個の微分方程式を解く問題です。各方程式は $dx/dt = f(t)$ または $dx/dt = f(x)$ の形をしています。

2. 解き方の手順

各微分方程式を解く手順は以下の通りです。

(1) $\frac{dx}{dt} = at + b$

両辺を$dt$で積分します。

$x = \int (at + b) dt = \frac{1}{2}at^2 + bt + C$

(2) $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{at+b}$

両辺を$dt$で積分します。

$x = \int \frac{1}{at+b} dt = \frac{1}{a} \ln|at+b| + C$

(3) $\frac{dx}{dt} = \frac{t}{at^2+b}$

両辺を$dt$で積分します。

$x = \int \frac{t}{at^2+b} dt = \frac{1}{2a} \ln|at^2+b| + C$

(4) $\frac{dx}{dt} = e^{at+b}$

両辺を$dt$で積分します。

$x = \int e^{at+b} dt = \frac{1}{a} e^{at+b} + C$

(5) $\frac{dx}{dt} = ax$

変数分離を行います。$\frac{dx}{x} = a dt$

両辺を積分します。$\int \frac{dx}{x} = \int a dt$

$\ln|x| = at + C'$

$x = e^{at+C'} = e^{C'}e^{at} = Ce^{at}$

(6) $\frac{dx}{dt} = ax^2$

変数分離を行います。$\frac{dx}{x^2} = a dt$

両辺を積分します。$\int \frac{dx}{x^2} = \int a dt$

$-\frac{1}{x} = at + C$

$x = -\frac{1}{at+C}$

(7) $\frac{dx}{dt} = ax + b$

変数分離を行います。$\frac{dx}{ax+b} = dt$

両辺を積分します。$\int \frac{dx}{ax+b} = \int dt$

$\frac{1}{a} \ln|ax+b| = t + C'$

$\ln|ax+b| = at + aC'$

$ax+b = e^{at+aC'} = e^{aC'}e^{at} = Ce^{at}$

$ax = Ce^{at} - b$

$x = \frac{Ce^{at} - b}{a}$

(8) $\frac{dx}{dt} = a - bx$

変数分離を行います。$\frac{dx}{a-bx} = dt$

両辺を積分します。$\int \frac{dx}{a-bx} = \int dt$

$-\frac{1}{b} \ln|a-bx| = t + C'$

$\ln|a-bx| = -bt - bC'$

$a-bx = e^{-bt - bC'} = e^{-bC'}e^{-bt} = Ce^{-bt}$

$-bx = Ce^{-bt} - a$

$x = \frac{a - Ce^{-bt}}{b}$

(9) $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{ax+b}$

$(ax+b) dx = dt$

$\int (ax+b) dx = \int dt$

$\frac{1}{2}ax^2 + bx = t + C$

$ax^2 + 2bx = 2t + 2C$

$ax^2 + 2bx - 2t - 2C = 0$

$x = \frac{-2b \pm \sqrt{4b^2 + 8a(t+C)}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 2a(t+C)}}{a}$

(10) $\frac{dx}{dt} = e^{ax+b}$

$e^{-ax-b}dx = dt$

$\int e^{-ax-b}dx = \int dt$

$-\frac{1}{a}e^{-ax-b} = t + C$

$e^{-ax-b} = -a(t+C)$

$-ax - b = \ln(-a(t+C))$

$-ax = \ln(-a(t+C)) + b$

$x = -\frac{\ln(-a(t+C)) + b}{a}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}at^2 + bt + C$

(2) $x = \frac{1}{a} \ln|at+b| + C$

(3) $x = \frac{1}{2a} \ln|at^2+b| + C$

(4) $x = \frac{1}{a} e^{at+b} + C$

(5) $x = Ce^{at}$

(6) $x = -\frac{1}{at+C}$

(7) $x = \frac{Ce^{at} - b}{a}$

(8) $x = \frac{a - Ce^{-bt}}{b}$

(9) $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 2a(t+C)}}{a}$

(10) $x = -\frac{\ln(-a(t+C)) + b}{a}$