関数 $y = \log_{\frac{1}{3}}x$ について、$\frac{1}{81} < x \le 9$ の範囲における $y$ の値域を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_{\frac{1}{3}}x$ について、$\frac{1}{81} < x \le 9$ の範囲における $y$ の値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の範囲の端点の $y$ の値を計算します。

次に、底が1より小さい（$\frac{1}{3}$）ため、関数 $y = \log_{\frac{1}{3}}x$ が単調減少であることを考慮して、値域を求めます。

$x = \frac{1}{81}$ のとき、

$y = \log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{81} = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^4 = 4$

$x = 9$ のとき、

$y = \log_{\frac{1}{3}}9 = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^{-2} = -2$

関数 $y = \log_{\frac{1}{3}}x$ は単調減少関数であり、$x$ の値が大きくなるほど $y$ の値は小さくなります。

$x$ の範囲は $\frac{1}{81} < x \le 9$ であるため、$y$ の範囲は $-2 \le y < 4$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 \le y < 4$