領域 $D = \{(x, y) \mid 1 \le x^2 + y^2 \le 4, y \ge x\}$ を極座標変換したときの領域 $D_0$ として正しいものを選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) \mid 1 \le x^2 + y^2 \le 4, y \ge x\}$ を極座標変換したときの領域 $D_0$ として正しいものを選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + y^2 \le 4$ は原点中心、半径2の円の内部を表し、$x^2 + y^2 \ge 1$ は原点中心、半径1の円の外部を表します。したがって、$1 \le x^2 + y^2 \le 4$ は半径1以上2以下の円環領域を表します。

次に、$y \ge x$ という条件を考えます。これは、$y = x$ という直線の上側を表します。$y = x$ は極座標では $r\sin\theta = r\cos\theta$ となり、$\tan\theta = 1$ となるので、$\theta = \frac{\pi}{4}$ です。したがって、$y \ge x$ は $\theta \ge \frac{\pi}{4}$ を表します。

また、円環領域なので $1 \le r \le 2$ です。

$y \ge x$ を満たす領域は、$\theta$ が $\frac{\pi}{4}$ 以上である必要があります。$\theta$ の上限については、直線 $y=x$ が2回交わることを考慮すると$\theta$は$\frac{\pi}{4}$から$\frac{5\pi}{4}$まで動きます。

よって、$D_0 = \{(r, \theta) \mid 1 \le r \le 2, \frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}\}$ となります。

3. 最終的な答え

$D_0 = \{(r, \theta) \mid 1 \le r \le 2, \frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}\}$