四面体 OABC において、辺ABを1:2に内分する点をD、線分CDを3:5に内分する点をE、線分OEを1:3に内分する点をF、直線AFが平面OBCと交わる点をGとする。 (1) $\overrightarrow{OE}$, $\overrightarrow{OF}$ を $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ で表せ。 (2) AG : FG を求めよ。

1. 問題の内容

四面体 OABC において、辺ABを1:2に内分する点をD、線分CDを3:5に内分する点をE、線分OEを1:3に内分する点をF、直線AFが平面OBCと交わる点をGとする。

(1) $\overrightarrow{OE}$, $\overrightarrow{OF}$ を $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ で表せ。

(2) AG : FG を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{OE}$ を $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ で表す。

点Dは辺ABを1:2に内分するので、

$\overrightarrow{OD} = \frac{2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{1+2} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$

点Eは線分CDを3:5に内分するので、

$\overrightarrow{OE} = \frac{5\overrightarrow{OC} + 3\overrightarrow{OD}}{3+5} = \frac{5}{8}\overrightarrow{OC} + \frac{3}{8}\overrightarrow{OD}$

$\overrightarrow{OD}$ を代入して、

$\overrightarrow{OE} = \frac{5}{8}\overrightarrow{OC} + \frac{3}{8}(\frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB})$

$\overrightarrow{OE} = \frac{5}{8}\overrightarrow{OC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{8}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{8}\overrightarrow{OB} + \frac{5}{8}\overrightarrow{OC}$

次に、$\overrightarrow{OF}$ を $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ で表す。

点Fは線分OEを1:3に内分するので、

$\overrightarrow{OF} = \frac{3\overrightarrow{OE}}{1+3} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OE}$

$\overrightarrow{OE}$ を代入して、

$\overrightarrow{OF} = \frac{1}{4}(\frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{8}\overrightarrow{OB} + \frac{5}{8}\overrightarrow{OC})$

$\overrightarrow{OF} = \frac{1}{16}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{32}\overrightarrow{OB} + \frac{5}{32}\overrightarrow{OC}$

(2) AG : FG を求める。

点Gは直線AF上にあるので、実数 $k$ を用いて、

$\overrightarrow{OG} = (1-k)\overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{OF}$ と表せる。

$\overrightarrow{OF}$ を代入して、

$\overrightarrow{OG} = (1-k)\overrightarrow{OA} + k(\frac{1}{16}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{32}\overrightarrow{OB} + \frac{5}{32}\overrightarrow{OC})$

$\overrightarrow{OG} = (1-k+\frac{k}{16})\overrightarrow{OA} + \frac{k}{32}\overrightarrow{OB} + \frac{5k}{32}\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OG} = (1-\frac{15}{16}k)\overrightarrow{OA} + \frac{k}{32}\overrightarrow{OB} + \frac{5k}{32}\overrightarrow{OC}$

点Gは平面OBC上にあるので、$\overrightarrow{OG}$ の $\overrightarrow{OA}$ の係数は0である。

$1-\frac{15}{16}k = 0$

$\frac{15}{16}k = 1$

$k = \frac{16}{15}$

したがって、$\overrightarrow{OG} = \frac{16/15}{32}\overrightarrow{OB} + \frac{5(16/15)}{32}\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{30}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OG} = (1-k)\overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{OF}$ より、

$\overrightarrow{OG} = (1-\frac{16}{15})\overrightarrow{OA} + \frac{16}{15}\overrightarrow{OF}$

$\overrightarrow{OG} = -\frac{1}{15}\overrightarrow{OA} + \frac{16}{15}\overrightarrow{OF}$

$\overrightarrow{OG} = \frac{16}{15}\overrightarrow{OF} - \frac{1}{15}\overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{30}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{16}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{32}\overrightarrow{OB} + \frac{5}{32}\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{AF} = -\frac{15}{16}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{32}\overrightarrow{OB} + \frac{5}{32}\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OG} = (1-k)\overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OA} + t(\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OA})$　とおくと,

$\overrightarrow{AG} = t\overrightarrow{AF}$が成り立つ。

ここで、k = 16/15であるから、$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{30}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OA}$　である。

$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{30}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{AF} = \frac{1}{16}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{32}\overrightarrow{OB} + \frac{5}{32}\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = -\frac{15}{16}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{32}\overrightarrow{OB} + \frac{5}{32}\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{AG} = t\overrightarrow{AF}$ より、

$\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OA} = t (\overrightarrow{OF} -\overrightarrow{OA})$

$AG : FG = t : (1-t)$

$\overrightarrow{OG} = (1-\frac{15}{16}k)\overrightarrow{OA} + \frac{k}{32}\overrightarrow{OB} + \frac{5k}{32}\overrightarrow{OC} = \frac{1}{30}\overrightarrow{OB} + \frac{5}{32} \times \frac{16}{15} \overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{30}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{6} \overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{AF} = \frac{16}{15}(\overrightarrow{OF} -\overrightarrow{OA})$より、$\overrightarrow{AG} = \frac{16}{15}\overrightarrow{AF}$

したがって、$AG : FG = 16 : 1$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{8}\overrightarrow{OB} + \frac{5}{8}\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OF} = \frac{1}{16}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{32}\overrightarrow{OB} + \frac{5}{32}\overrightarrow{OC}$

(2) AG : FG = 16 : 1