三角形ABCにおいて、以下の条件で指定された値を求めます。 (1) $A = 60^\circ, b = 5, c = 3$ のとき、$a$ を求める。 (2) $a = 2, b = \sqrt{6}, B = 60^\circ$ のとき、$c$ を求める。 (3) $a = \sqrt{10}, b = \sqrt{2}, c = 2$ のとき、$A$ を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の条件で指定された値を求めます。

(1) $A = 60^\circ, b = 5, c = 3$ のとき、$a$ を求める。

(2) $a = 2, b = \sqrt{6}, B = 60^\circ$ のとき、$c$ を求める。

(3) $a = \sqrt{10}, b = \sqrt{2}, c = 2$ のとき、$A$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて $a$ を求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$a^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ$

$a^2 = 25 + 9 - 30 \cdot \frac{1}{2}$

$a^2 = 34 - 15$

$a^2 = 19$

$a = \sqrt{19}$

(2) 正弦定理を用いて $C$ を求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{2}{\sin A} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 60^\circ}$

$\sin A = \frac{2 \sin 60^\circ}{\sqrt{6}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$A = 45^\circ$ または $135^\circ$

$A = 45^\circ$ の場合、$C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

$A = 135^\circ$ の場合、$C = 180^\circ - 60^\circ - 135^\circ = -15^\circ$ となり不適。

したがって、$A = 45^\circ$、$C = 75^\circ$

正弦定理を用いて$c$を求めます。

$\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}$

$c = \frac{b \sin C}{\sin B} = \frac{\sqrt{6} \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ}$

$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$c = \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})/4}{\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2\sqrt{3}} = \frac{6+\sqrt{12}}{2\sqrt{3}} = \frac{6+2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1$

(3) 余弦定理を用いて $\cos A$ を求めます。

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos A = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2^2 - (\sqrt{10})^2}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2}$

$\cos A = \frac{2 + 4 - 10}{4\sqrt{2}}$

$\cos A = \frac{-4}{4\sqrt{2}}$

$\cos A = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$A = 135^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $a = \sqrt{19}$

(2) $c = \sqrt{3} + 1$

(3) $A = 135^\circ$